Domaine de convergence uniforme
Bonjour, et merci d'avance pour vos réponses.
Une simple question:
Soit $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}$ tq $f_{n}(x)=x^{n}$.
$(f_{n})$ converge uniformément sur tout intervalle $I=[0, a]\subset [0,1[$ pourtant il me semble que $(f_{n})$ ne converge pas uniformément sur $[0,1[$.
En effet, soit $\varepsilon>0, \forall N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}, \exists n\geq N_{\varepsilon}, \exists x\in [0,1[$ tq $x^{n}> \varepsilon$.
J'aimerais comprendre où se trouve mon erreur, $(f_n)$ ne converge-t-elle pas uniformément sur $A_a=[0,a]$, $\forall a\in [0,1[$ et n'a-t-on pas $[0,1[=\bigcup_{a\in [0,1[} A_a$?
Merci encore.
Une simple question:
Soit $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}$ tq $f_{n}(x)=x^{n}$.
$(f_{n})$ converge uniformément sur tout intervalle $I=[0, a]\subset [0,1[$ pourtant il me semble que $(f_{n})$ ne converge pas uniformément sur $[0,1[$.
En effet, soit $\varepsilon>0, \forall N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}, \exists n\geq N_{\varepsilon}, \exists x\in [0,1[$ tq $x^{n}> \varepsilon$.
J'aimerais comprendre où se trouve mon erreur, $(f_n)$ ne converge-t-elle pas uniformément sur $A_a=[0,a]$, $\forall a\in [0,1[$ et n'a-t-on pas $[0,1[=\bigcup_{a\in [0,1[} A_a$?
Merci encore.
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Réponses
Est-ce que tu peux formaliser le résultat qui te semble choquant ?
Si pour tout $a<1$, $(f_n)_n$ converge uniformément sur $[0;a]$, alors $f_n$ converge uniformément sur $[0;1[$.
On a des propriétés qui passent bien, par exemple si on remplace "converge uniformément" par "est continue", alors c'est vrai.
Il s'agit en fait, de considérer des propriétés locales (la continuité, par exemple).
Alors que la convergence uniforme est une propriété globale : on regarde l'ensemble en entier.
Ainsi, tu n'as pas fait d'erreur.
Tu constates que l'on ne peut pas hâtivement conclure de telles choses.
Une propriété vérifiée pour tout $A_a$ n'est pas nécessairement vérifiée sur la réunion des $A_a$.
Un dernier exemple :
Pour tout $a<1$, la longueur de $[0;a]$ est strictement inférieure à $1$.
Mais la longueur de $[0;1[$ est égale à $1$.
Dom a bien saisit le problème que j'avais. Cela va me permettre de clarifier beaucoup d'autres propriétés avec lesquels l'idée fausse que j'avais (une propriété vraie pour tous fermés d'un ouvert s'étend à l'ouvert en question) rentrait en contradiction.
Moi aussi, j'avais compris le problème que tu avais...
Je plaisante, je ne suis pas vexé, Dom.
La réponse que j'attendais était :
"je pense que la convergence uniforme sur chaque $X_i$ implique la convergence uniforme sur $\cup X_i$"
Ma réponse aurait été :
"pourtant tu as un contre-exemple sous les yeux."
et op aurait dit
"ah d'accord"
:-D
Enfin rassure toi, je n'ai pas fini de réfléchir pour autant, je retourne bosser sur la convergence uniforme de mes suites et séries de fonctions.