Convergence de série avec paramètre

Adaq · March 2018

Bonjour
Je dois trouver pour quelle valeur de x $ \in \mathbb{R} $ la série suivante converge et pour laquelle elle converge absolument en utilisant le critère de d'Alembert ou de quotient comme il aime l'appeler dans mon école : $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{1 + n^2x^2}
$$ Mon problème est donc de simplifier l'expression : $ \dfrac{\frac{(-1)^{n+1} \sqrt{n+1}}{1 + (n+1)^2x^2}}{\frac{(-1)^n \sqrt{n}}{1 + n^2x^2}} $
Merci de vos réponses !

marsup · March 2018

Tu peux nous rappeler le critère en question ?

Adaq · March 2018

Oui

Si l'expression fractionnaire que j'ai écrite en haut en valeur absolue est plus petit que 1 en valeur absolue la suite converge, si c'est plus grand que 1 en valeur absolue elle diverge et si elle vaut 0 on ne peut rien affirmer.

marsup · March 2018

Euh non c'est pas tout à fait ça. Tu veux parler de limite du quotient ?

Par exemple pour $u_n = \frac{1}{n}$, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est bien $<1$ en valeur absolue, pourtant, la série $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

D'un autre côté, pour $u_n = \frac{1}{n^2}$, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers 1 en valeur absolue, et la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge.

Bon de toute façon, ce critère est adapté pour les suites "qui ressemblent à des suites géométriques", non ?

Ici, le terme général tend vers $0$, mais certainement pas assez vite pour que ce critère puisse nous dire quoi que ce soit.

Si l'exercice est vraiment celui-là, la réponse est donc "on ne peut pas conclure avec ce critère" !

BobbyJoe · March 2018

Ca n'a pas l'air fou d'appliquer le critère de d'Alembert ici? Connais-tu les développements limités? (en règle générale, c'est souvent plus efficace...)

Adaq · March 2018

A mon avis oui, il s'agit bien de limite de quotient.

Mais mon exercice est exactement donné comme suit :

Trouver pour quelle valeur de x appartenant aux nombres réels la suite ci-dessus est convergente et pour quelle valeur de x converge-t-elle absolument. Indications : utiliser le critère du quotient ou le critère de la racine. (Comme tu l'as dis ces critères s'appliquent à une suite pas à une série, mais je ne sais pas ils veulent qu'on l'utilise quelque part)

Critère du quotient étant : $ L = \mid \frac{u_n+1}{u_n} $
Si L = 0, doute
Si L > 1, diverge
Si L < 1, converge

Critère de la racine étant : $ L =\mid \sqrt[n]{u_n} \mid$
Si L = 0, doute
Si L > 1, diverge
Si L < 1, converge

Et je suis pratiquement sur que la solution n'est pas de dire que ces critères sont insuffisant pour dégager une réponse.

P. · March 2018

L'indication est delirante puisque son application mene au cas ambigu $L=1.$ Il est bien plus simple d'utiliser le critere d'equivalence: soit deux suites positives $u_n$ et $v_n$ telles que $u_n/v_n$ tende vers un. Alors les deux series $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent ou divergent en meme temps. Applique cela a la valeur absolue $u_n$ du terme general de ta serie et trouve une suite $v_n$ simple et classique equivalente.