Produit de convolution

Bonjour,

On note $f_{\alpha} (x) = e^{\alpha x} 1_{\mathbb{R}^+} (x)$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$.

Calculer $f_{\alpha} * f_{\beta}$ pour $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ arbitraires.

Ce que j'ai fait :

$f_{\alpha}(t) = e^{\alpha t}$ si $t \in [0,+\infty[ = I_1$.
$f_{\beta}(t) = e^{\beta (x-t)}$ si $x-t \in [0,+\infty[$, soit si $t \in ]-\infty,x] = I_2$.

Ainsi si $I_1 \cap I_2 = \emptyset$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = 0$.
Si $I_1 \cap I_2 = [0,x]$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^x e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{e^{bx}-e^{ax}}{b-a}$.
Si $I_2 \cap I_2 = [0, +\infty[, f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^{+\infty} e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{b-a}$.

Pouvez-vous me confirmer ou non ces résultats ?
D'avance merci !