Produit de convolution
dans Analyse
Bonjour,
On note $f_{\alpha} (x) = e^{\alpha x} 1_{\mathbb{R}^+} (x)$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$.
Calculer $f_{\alpha} * f_{\beta}$ pour $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ arbitraires.
Ce que j'ai fait :
$f_{\alpha}(t) = e^{\alpha t}$ si $t \in [0,+\infty[ = I_1$.
$f_{\beta}(t) = e^{\beta (x-t)}$ si $x-t \in [0,+\infty[$, soit si $t \in ]-\infty,x] = I_2$.
Ainsi si $I_1 \cap I_2 = \emptyset$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = 0$.
Si $I_1 \cap I_2 = [0,x]$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^x e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{e^{bx}-e^{ax}}{b-a}$.
Si $I_2 \cap I_2 = [0, +\infty[, f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^{+\infty} e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{b-a}$.
Pouvez-vous me confirmer ou non ces résultats ?
D'avance merci !
On note $f_{\alpha} (x) = e^{\alpha x} 1_{\mathbb{R}^+} (x)$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$.
Calculer $f_{\alpha} * f_{\beta}$ pour $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ arbitraires.
Ce que j'ai fait :
$f_{\alpha}(t) = e^{\alpha t}$ si $t \in [0,+\infty[ = I_1$.
$f_{\beta}(t) = e^{\beta (x-t)}$ si $x-t \in [0,+\infty[$, soit si $t \in ]-\infty,x] = I_2$.
Ainsi si $I_1 \cap I_2 = \emptyset$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = 0$.
Si $I_1 \cap I_2 = [0,x]$, $f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^x e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{e^{bx}-e^{ax}}{b-a}$.
Si $I_2 \cap I_2 = [0, +\infty[, f_{\alpha} * f_{\beta}(x) = \int_0^{+\infty} e^{\alpha t} e^{\beta (x-t)} dt = \dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{b-a}$.
Pouvez-vous me confirmer ou non ces résultats ?
D'avance merci !
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Réponses
Si $x=0$, $I_1 \cap I_2 = \{0\}$. Ici le produit de convolution est aussi nul.
Si $\alpha \neq \beta$ et $x > 0$, $I_1 \cap I_2 = [0,x]$, le produit de convolution est $\dfrac{e^{\beta x} - e^{\alpha x}}{\beta - \alpha}$.
Si $\alpha = \beta$, le produit de convolution est $xe^{\alpha x}$ si $x>0$.