Suite et inégalité

rizusoz · March 2018

Bonjour,

Dans le cadre d'un problème sur la formule de Stirling je dois montrer une inégalité.
On a :

$U_n = \frac{\sqrt{n}}{n!}(\frac{n}{e})^n$

$V_n = ln(U_n)$

J'ai déjà montré que $V_{n+1}-V_n $ équivaut à $\frac{1}{12n^2}$ en $+\infty$ et que donc $V_n$ est croissante à partir d'un certain rang.

Je dois montrer que $\exists M \in R^+$, tel que $\forall n \ge 2$ : $V_{n+1} - V_n \le \frac{M}{n^2} \le M(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})$.

Je ne sais pas du tout par ou partir pour établir cette inégalité.

J'ai remarqué que forcément $\frac{M}{n^2} \le M(\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}) = \frac{M}{n^2 -n}$.

Reste à établir la première partie de l'égalité avec l'existence de ce M, quelqu'un à une piste ?

Merci beaucoup, bonne soirée !

gb · March 2018

Bonjour,

Que peux-tu dire de la suite de terme général $n^2(V_{n+1}-V_n)$ ?

marsup · March 2018

Moi, je fais comme ça :

$v_n = \ln(u_n) = \underbrace{n \cdot [\ln(n)-1]}_{=F(n)} + \frac{1}{2} \cdot \ln(n) - \sum_{k=1}^n \ln(k)$.

Ainsi :
$v_{n+1}-v_n = F(n+1)-F(n) + \frac{1}{2} [\ln(n+1)-\ln(n)] - \ln(n+1)$
d'où :
$$v_{n+1}-v_n = F(n+1)-F(n) - \frac{1}{2} [\ln(n+1)+\ln(n)]
= \int_{n}^{n+1} \ln(t) dt - \frac{1}{2} [\ln(n+1)+\ln(n)]
$$

On fait une intégration par parties en dérivant $\ln(t)$, pour faire apparaître $u(t) = t - n - \frac{1}{2}$.
Il reste :
$$v_{n+1}-v_n = \int_{n}^{n+1} \frac{t-n-\frac{1}{2}}{t} dt$$

On refait une intégration par parties pour faire apparaître les $\frac{1}{n^2}$.

rizusoz · March 2018

Merci pour votre réponse rapide,

après quelques calculs j'ai trouvé (sauf erreur de ma part) l'expression de cette suite pour tout n :

$n^2(V_{n+1} - V_n) = (\frac{n^2}{2} + n^3 )ln(1+\frac{1}{n}) -n^2$

Mais je ne lui trouve rien d’extraordinaire

rizusoz · March 2018

Merci pour votre réponse marsup je vais regarder tout ça !

marsup · March 2018

Par contre, si tu fais comme je te propose dans un devoir maison, ton prof va peut-être être un peu surpris de la prise d'initiatives... :-P

gb · March 2018

rizusoz a écrit:

Mais je ne lui trouve rien d’extraordinaire

Quel rapport établis-tu entre l'équivalent obtenu pour $V_{n+1}-V_n$ et la suite $n^2(V_{n+1}-V_n)$ ?

marsup · March 2018

Ah oui, j'avais même pas vu l'équivalent $\frac{1}{12n^2}$ déjà obtenu.

Bon dans ce cas-là, effectivement, on connaît la limite de $n^2 \cdot (v_{n+1}-v_{n})$, et ça doit bien nous vendre un majorant.

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