Suite d'intégrales
Bonjour,
Voici un exercice où je bloque à la question 2.
Soit $f$ de $\mathbb R_+^{*}$ dans $\mathbb R$ continue. Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$, on pose $f_n(x) = f(nx)$.
1. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle I_n = \int_{\pi/4}^{\pi/2} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ avec $\ell \in \mathbb R$.
Calculer $\lim_n I_n$.
Alors via la convergence uniforme de la suite de fonction ou alors en utilisant le théorème de convergence dominée, on justifie l'interversion limite-intégrale et obtient que $I_n$ tend vers $\ell(1-\sqrt{2}/2)$
2. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle J_n = \int_0^{\pi} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que la fonction $\displaystyle x \mapsto \int_0^x f(y)^2 dy$ est majorée par une constante $M$ sur $\mathbb R_+$. Montrer qu'il existe une constante $c>0$ telle que : $\forall n \geq 1 ,\ | J_n| \leq \dfrac{c}{\sqrt{n}}$.
Alors j'ai tenté le changement de variable $x=nt$ mais cela ne me donne rien de concluant. Avez-vous une piste ?
Merci d'avance !
Voici un exercice où je bloque à la question 2.
Soit $f$ de $\mathbb R_+^{*}$ dans $\mathbb R$ continue. Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$, on pose $f_n(x) = f(nx)$.
1. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle I_n = \int_{\pi/4}^{\pi/2} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ avec $\ell \in \mathbb R$.
Calculer $\lim_n I_n$.
Alors via la convergence uniforme de la suite de fonction ou alors en utilisant le théorème de convergence dominée, on justifie l'interversion limite-intégrale et obtient que $I_n$ tend vers $\ell(1-\sqrt{2}/2)$
2. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle J_n = \int_0^{\pi} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que la fonction $\displaystyle x \mapsto \int_0^x f(y)^2 dy$ est majorée par une constante $M$ sur $\mathbb R_+$. Montrer qu'il existe une constante $c>0$ telle que : $\forall n \geq 1 ,\ | J_n| \leq \dfrac{c}{\sqrt{n}}$.
Alors j'ai tenté le changement de variable $x=nt$ mais cela ne me donne rien de concluant. Avez-vous une piste ?
Merci d'avance !
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Réponses
Quand je vois l'intégrale de \(f^2\) je pense immédiatement à majorer par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
l'inégalité Cauchy-Schwarz suivi du changement de variable y = nt et on a le résulat !
J'espérais que les racines carrées et le changement de variable pour \(x=nt\) qui injecte \(n\) au dénominateur donnerait directement la majoration voulue.
edit : je répondais à marsup sans avoir vu le dernier message de Fabrice2.
J'avais pas vu ta réponse non plus au moment de la mienne gb !:-D
je reviens vous voir pour la question 1 car en réalité l'exercice est de niveau première année et donc la convergence uniforme d'une suite de fonction ou encore le théorème de convergence dominée n'ont pas encore été vues. Du coup, comment peut-on justifier l'interversion limite-intégrale ? Merci d'avance !
\[\lvert I_n-\ell(1-\sqrt{2}/2)\rvert = \left\lvert\int_{\pi/4}^{\pi/2}f_n(t)\cos t\,dt-\ell\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos t\,dt\right\rvert \leqslant \int_{\pi/4}^{\pi/2}\lvert f(nt)-\ell\rvert\cos t\,dt\]
et, pour tout \(\epsilon\) strictement positif, il existe \(A\), donc \(N\) tel que :
\begin{multline}n\geqslant N \implies n\frac\pi4 \geqslant A \implies \forall t\in[\pi/4,\pi/2]\ nt\geqslant A \implies \\
\forall t\in[\pi/4,\pi/2]\ \lvert f(nt)-\ell\rvert \leqslant \epsilon \implies \lvert I_n-\ell(1-\sqrt{2}/2)\rvert\leqslant \epsilon\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos t\,dt \leqslant \epsilon.\end{multline}
Effectivement j'ai bien compris la démonstration à la main. Cependant l'énoncé précise :
"En utilisant un théorème du cours (bien préciser les hypothèses), calculer $\lim_n I_n$"
Du coup, de quel théorème d'un cours de première année peut-il bien s'agir ?
Si l'on exclut la convergence uniforme et la convergence dominée, il ne reste plus grand chose, c'est plus que maigre au sens de Baire.
En première année (de quel cursus ?) il est possible que le cours aborde la convergence uniforme.
J'ai appris (il y a bien longtemps il est vrai) l'intégration des fonctions réglées à Bac+1, en manipulant la convergence uniforme dans tous les sens.
Ces deux affirmations ne sont-elles pas contradictoires ?
voici le sommaire du cours en question. Est-ce que cela nous mettrait sur la piste du théorème en question ?