Suite d'intégrales

Bonjour,
Voici un exercice où je bloque à la question 2.

Soit $f$ de $\mathbb R_+^{*}$ dans $\mathbb R$ continue. Pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$, on pose $f_n(x) = f(nx)$.
1. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle I_n = \int_{\pi/4}^{\pi/2} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ avec $\ell \in \mathbb R$.
Calculer $\lim_n I_n$.

Alors via la convergence uniforme de la suite de fonction ou alors en utilisant le théorème de convergence dominée, on justifie l'interversion limite-intégrale et obtient que $I_n$ tend vers $\ell(1-\sqrt{2}/2)$

2. Pour $n \geq 1$, soit $\displaystyle J_n = \int_0^{\pi} f_n(t) \cos(t) dt$. On suppose que la fonction $\displaystyle x \mapsto \int_0^x f(y)^2 dy$ est majorée par une constante $M$ sur $\mathbb R_+$. Montrer qu'il existe une constante $c>0$ telle que : $\forall n \geq 1 ,\ | J_n| \leq \dfrac{c}{\sqrt{n}}$.

Alors j'ai tenté le changement de variable $x=nt$ mais cela ne me donne rien de concluant. Avez-vous une piste ?
Merci d'avance !