Homéomorphisme avec point fixe et croissance

On prend $E=\mathbb{R}.$ On pose $f(t)=\frac{\pi}{2}+Arctan(t)$ et $g(t)=-t+\frac{\pi}{2}.$
Et pourtant : $\vert f \vert$ est croissante sur $\mathbb{R}$ bien que $\vert g\circ f \vert =\vert Arctan \vert$ ne l'est pas!

Ce qui prouve que la condition $g(0)=0$ est importante....

Pour la norme 1 des composantes, on peut considérer : $f(t)=(\frac{\pi}{2}+Arctan(t),-\pi)$ et $g(x,y)=\left( x,y-\frac{\pi+\varepsilon}{2}\sin(x) \right).$

Pour $\displaystyle t\rightarrow +\infty,$ $g(\pi,-\pi)=(\pi,-\pi)$ et pour $t=0,$ $g(\frac{\pi}{2},-\pi)=(\frac{\pi}{2},-(\pi+\frac{\pi+\varepsilon}{2})).$ La norme $1$ de $g\circ f$ n'est pas croissante.

Comment ça? la fonction $g$ est un homéo... $g$ est injective (ok!) et surjective (l'image est ouverte par le théorème d'inversion locale) et fermée (il suffit de l'écrire) et donc $g$ est un homéo (et même un $\mathcal{C}^{\infty}$ difféo de $E$ sur $E$).

Plus généralement, on peut considérer $g_{a}(x,y)=\left( x+a\sin(y),y-\frac{\pi+\varepsilon}{2}\sin(x) \right)$ où $\vert a \vert \times \frac{\pi+\varepsilon}{2}<1.$