Bonjour.
Soient $f$ une fonction de $\R$ dans un espace vectoriel normé $E$ telle que la fonction $||f(.)||$ est strictement croissante
et $g$ un homéomorphisme de $E$ dans $E$ tel que $g(0) =0$.
Mon problème est de savoir si $||g\circ f(.)||$ est croissante.
Réponses
Et pourtant : $\vert f \vert$ est croissante sur $\mathbb{R}$ bien que $\vert g\circ f \vert =\vert Arctan \vert$ ne l'est pas!
Pour $\displaystyle t\rightarrow +\infty,$ $g(\pi,-\pi)=(\pi,-\pi)$ et pour $t=0,$ $g(\frac{\pi}{2},-\pi)=(\frac{\pi}{2},-(\pi+\frac{\pi+\varepsilon}{2})).$ La norme $1$ de $g\circ f$ n'est pas croissante.
Plus généralement, on peut considérer $g_{a}(x,y)=\left( x+a\sin(y),y-\frac{\pi+\varepsilon}{2}\sin(x) \right)$ où $\vert a \vert \times \frac{\pi+\varepsilon}{2}<1.$