Calcul d'une intégrale — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Calcul d'une intégrale

ChaurienChaurien
dans Analyse
Bonjour.
Je m'intéresse à l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sqrt{x}}{e^{x}+1}dx$.
Je trouve : $\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\zeta \Big(\dfrac{3}{2}\Big)\sqrt{\pi }$.
Je la pose ici pour voir si vous êtes d'accord et comparer les méthodes.
De plus, je l'ai posée à Wolfram Alpha, mais je n'ai eu qu'une réponse numérique. Ce site peut-il donner aussi une réponse formelle ?

Bonne journée. Maître Soleil montre un peu son visage radieux.
Fr. Ch.

Réponses

  • gbgb
    Par exemple :
    \[\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt x}{e^x+1}\,dx=\int_0^{+\infty}\sqrt x\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx=\int_0^{+\infty}\sqrt x\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^ne^{-nx}\,dx\]
    On s'intéresse donc, pour \(n\) entier naturel non nul, à l'intégrale :
    \[I_n=\int_0^{+\infty}\sqrt xe^{-nx}\,dx\overset{t=nx}=\frac{1}{n\sqrt n}\int_0^{+\infty}\sqrt{t}e^{-t}\,dt = \Gamma\left(\frac32\right)\frac1{n^{3/2}}\]
    donc la série de terme général positif \(I_n\) converge, ce qui permet d'intégrer la série terme à terme :
    \[\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt x}{e^x+1}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\int_0^{+\infty}\sqrt xe^{-nx}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\Gamma\left(\frac32\right)\frac{(-1)^n}{n^{3/2}}=\Gamma\left(\frac32\right)\eta\left(\frac32\right)\]
    et il est bien connu que :
    \begin{align}\Gamma\left(\frac32\right)&= \frac{\sqrt\pi}2 & \eta\left(\frac32\right) &= \big(1-2^{-1/2}\bigr)\zeta\left(\frac32\right)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}\zeta\left(\frac32\right)\end{align}
    ce qui confirme la valeur obtenue.

    corrigendum : lire \((-1)^{n+1}\) en chacune des trois occurrences de \((-1)^n\).
  • marsupmarsup
    D'accord avec toi, gb, mais je crois que tu voulais dire $(-1)^{n+1}$.
  • gbgb
    En fait, cette intégrale fait partie des classiques :
    \begin{align}
    \int_0^{+\infty} \frac{x^\alpha}{e^x-1}\,dx &= \zeta(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1) & (\alpha>0) \\
    \int_0^{+\infty} \frac{x^\alpha}{e^x+1}\,dx &= \eta(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1) & (\alpha>-1) \\
    &= \bigl(1-2^{-\alpha}\bigr)\zeta(\alpha+1) \Gamma(\alpha+1)
    \end{align}

    @marsup : merci de m'avoir signalé la correction à effectuer.
  • YvesMYvesM
    Bonjour,

    Lien vers Wolfram Alpha en ligne avec réponse formelle : http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+sqrt(x)/(1+exp(x))+from+0+to+inf.
  • ChaurienChaurien
    Merci pour toutes ces réponses.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Fin de partieFin de partie
    On peut aussi faire le calcul suivant:

    $\begin{align}
    J&=\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+\text{e}^x}\,dx\\
    &=\int_0^{\infty}\frac{2\sqrt{x}}{1-\text{e}^{2x}}\,dx-\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{1-\text{e}^x}\,dx\\
    \end{align}$

    Dans l'avant-dernière intégrale on fait le changement de variable $y=2x$,

    $\begin{align}
    &=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{y}}{1-\text{e}^{y}}\,dy-\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{1-\text{e}^x}\,dx\\
    \end{align}$

    Or, pour $s>1$,

    $\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1-\text{e}^x}\,dx=-\Gamma(s)\zeta(s)\tag1$

    Donc,

    $\begin{align}
    J&=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\zeta\left(\frac{3}{2}\right)+\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\zeta\left(\frac{3}{2}\right)\\
    &=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\zeta\left(\frac{3}{2}\right)\\
    &=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\zeta\left(\frac{3}{2}\right)\\
    &=\boxed{\frac{\sqrt{\pi}}{2}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}\\
    \end{align}$

    Puisque, pour $t>0$, $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)\tag2$.
    et,
    $\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\tag3$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!