Continuité sur un intervalle.

Effectivement pour l'expression conjuguée j'ai commencé regardez :

$\dfrac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x} = \dfrac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \dfrac{1+x^2 - 1 + x^2}{x(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \dfrac{x(2x)}{x(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$
$= \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

Ensuite je pensais calculer les limites à chaque borne de l'intervalle, mais ce dernier étant un segment je trouve ça étrange.

J'ai un théorème possible :

soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $a<b$ et soit $f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $[a,b]$.
Alors $f$ est bornée sur $[a,b]$ et atteint ses bornes. Cependant je ne sais pas si ça réciproque est vraie et je ne vois pas comment l'utiliser.

Merci de votre aide, bien cordialement.

Bonsoir Héhéhé.

Je ne comprends pas votre réunion d'intervalles.

Pourquoi faire ceci ? Quel rapport avec la composition, sommes etc... de fonctions continues ? La réunion d'intervalles exclut le zéro, pourquoi ? Je ne comprends pas.

Je pense voir. Mais je dois inclure le zéro dans l'intervalle pour montrer qu'elle est continue dans tout point de $f$.