EDP (niveau PC)

Il faudrait justifier l'équivalence $v^2 = \dots$ avec $v = \sqrt \dots$ !

Sinon, ça manque un peu de quantification mais c'est correct.

Si j'avais du corriger ta copie, j'aurais aimé voir un petit "(car $v > 0$)" à ce moment-là, mais il m'arrive de chipoter, à toi de juger ;-)

Bonjour,

mon intervention n'a pas pour but de discuter la solution de Fabrice2 que je n'ai seulement parcourue superficiellement. Le résultat $f(x,y)=\mu\Big(\sqrt{\frac{2x}{1+y^2}}\Big)$ est correct. Néanmoins, il est dommage qu'il soit limité au domaine $x>0$.

Je voudrais rappeler que la méthode des caractéristiques est très efficace pour résoudre ce genre d'EDP. $$
2xy\frac{\partial f}{\partial x}+(1+y^2)\frac{\partial f}{\partial y}=0
$$ Le système caractéristique d'EDOs est : $$
\frac{dx}{2xy}=\frac{dy}{1+y^2}=\frac{df}{0}
$$ Une première famille de courbes caractéristiques provient de : $\frac{dx}{2xy}=\frac{dy}{1+y^2}$ , dont la résolution est aisée : $$\frac{x}{1+y^2} =c_1
$$ Une seconde famille de courbes caractéristiques provient de $\frac{df}{0}=$ non infini $\to\quad df=0$ $$f=c_2
$$ La solution générale de l'EDP, exprimée sous forme d'équation implicite, est : $$
\Phi\Big(\frac{x}{1+y^2}\:,\:f(x,y)\Big)=0
$$ dans laquelle $\Phi$ est une fonction arbitraire de deux variables.
Ou, de façon équivalente sous forme explicite : $$f(x,y)=F\Big(\frac{x}{1+y^2}\Big)
$$ dans laquelle $F$ est une fonction arbitraire (à déterminer selon des conditions qui, dans le cas présent, ne sont pas spécifiées dans l'énoncé du problème).
Il n'y a pas contradiction avec la forme de solution trouvée par Fabrice2.