Intégrale série

Si on a le droit à des intégrales doubles il est probable qu'on puisse mais cela va être un peu "sportif" je le crains.

Ou bien avec un changement de variable (dans des intégrales multiples) de Calabi.

Cf:
https://pdfs.semanticscholar.org/35be/01e63c0bfd32b82c97d58ccc9c35471c3617.pdf

Oui il est possible de calculer la somme de série dans le cadre des programmes actuels de spé.
J'avais proposé une méthode en août 2016, je la recopie ci-dessous.

On peut calculer $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$ de façon élémentaire (niveau bac+1) en utilisant $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1}=\dfrac{\pi}4$ (facile à montrer).

On introduit $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^2\dfrac{\sin(2nx)}{\sin(x)}dx$.

$I_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}2x^2\cos((2n+1)x)dx=\dfrac{\pi^2(-1)^n}{2(2n+1)}-\dfrac{4(-1)^n}{(2n+1)^3}$ en intégrant par parties.

$f(x)=\dfrac{x^2}{\sin(x)}$ étant de classe $C^1$ sur $[0,\pi/2]$ on peut intégrer par parties:

$I_n=\left[-f(x)\dfrac{\cos(2nx)}{2n}\right]_0^{\pi/2}+\dfrac1{2n}\displaystyle\int_0^{\pi/2}f'(x)\cos(2nx)dx$ donc $|I_n|\leq \dfrac{f(\pi/2)+\int_0^{\pi/2}|f'(x)|dx}{2n}$ qui a pour limite 0.

On en déduit $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\dfrac{\pi^2}8\times\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi^3}{32}$.


En considérant $J_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^4\dfrac{\sin(2nx)}{\sin(x)}dx$ on en déduit de manière analogue $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=\dfrac{5\pi^5}{1536}$.

@ Zimbabou
Ben oui, à moins d'être Pascal, Euler ou Gauss, qui retrouvaient tout par eux-mêmes, nous avons besoin d'apprendre. Disons merci à MrJ, merci à Jandri, et apprenons. Si ça t'étonne, moi ça m'étonne que ça t'étonne.