Courbe implicite

Commençons par supprimer le dénominateur inutile et posons\[f(x,y)=\bigl(\sin^3(y-x) - \sin^3(y)+\sin^3(x)\bigr)^2+4\sin^3(x)\sin^3(y).\]Pour voir ce qui se passe au voisinage de $(\frac\pi2,0)$, on pose $x=\frac\pi2+h$ et $y=k$ et on fait tendre $(h,k)$ vers $0$. Plus précisément, on pose $g(h,k)=f\bigl(\frac\pi2+h,k\bigr)$ et on étudie la courbe $g(h,k)=0$ au voisinage de $(0,0)$.
Un développement de Taylor de $g$ au voisinage de $(0,0)$ donne (merci Sage) [g(h,k)=\frac14k^2\Bigl(16k+9k^2-36hk+36h^2-20k^3+24hk^2-24h^2k+o\bigl(\|(h,k)\|^3\bigr)\bigr).\]Le facteur $k^2$ doit correspondre à la composante horizontale. L'autre facteur décrit le graphe d'une fonction au voisinage de $(0,0)$. Comme il n'y a pas de terme en $h$, la tangente est horizontale. Plus précisément, on voit que $16k+o(k)=-36h^2+o(h^2)$ donc $16k\sim-36h^2$. On retrouve bien le fait que la courbe est sous sa tangente horizontale. Mieux : comme il n'y a pas de terme en $h^3$, on peut pousser un cran plus loin [k=\frac{-36h^2}{16-36h}+O(k^2)=\frac{-36h^2}{16-36h}+O(h^4).\]
Vérification graphique sur un pavé correspondant à $(h,k)\in[-\frac1{10},\frac1{10}]\times[-\frac1{10},\frac1{10}]$ : en bleu, un peu épaisse, la « vraie » courbe ; en vert, l'approximation $k=-\frac94h^2$ ; en rouge, l'approximation $k=\frac{-36h^2}{16-36h}$, indiscernable de la courbe bleue. C'est crédible...

Ah ? Il faudrait justifier ? Trop tard pour ce soir, je m'esquive...

var('x y h k')

# fonction et changement de variable x=pi/2+h, y=k
f = (sin(y-x)^3+sin(x)^3-sin(y)^3)^2+4*sin(x)^3*sin(y)^3
g = f.subs({x:pi/2+h,y:k})

# tracé de la courbe et des points
G = implicit_plot(f,(x,-pi,pi),(y,-pi,pi),plot_points=1000)
G+= implicit_plot(y,(x,-pi,pi),(y,-pi,pi),plot_points=1000)
G+= implicit_plot(x,(x,-pi,pi),(y,-pi,pi),plot_points=1000)
for ee in [-1,1]:
    G+= point((ee*pi/2,0),size=10,color="red")
    G+= point((0,ee*pi/2),size=10,color="red")
G.show()  # éventuellement : G.save('/home/toto/courbe.pdf')

# développement de Taylor en (h,k) = (0,0)
T = taylor(g,(h,0),(k,0),5).factor()
print "développement de Taylor : \n  %s\n"% T
# il apparaît un facteur k^2 (la droite) par lequel on divise
# dans la composante qui reste, on exprime k en fonction de h
C = -4*T/k^2
print "composante intéressante :\n %s\n" % C

H = implicit_plot(g,(h,-1/10,1/10),(k,-1/20,1/30),linewidth=3,color="red",plot_points=1000)
H+= plot(-36/16*h^2,(h,-1/10,1/10),color="green")
H+= plot(-36*h^2/(16-36*h),(h,-1/10,1/10),color="blue")
H.show()

Si c'est vraiment court, le terminal. Assez vite, le vieux notebook. Apparemment c'est has been et les gens qui savent se sont tournés vers Jupyter.