Difféomorphisme et changement de variable

Reylo · March 2018

Bonsoir tout le monde,

Lors d'une recherche pour résoudre une exercice je sur une relation que je trouve particulièrement intéressante :

$ \begin{bmatrix} \partial_r \\ \partial_\theta \end{bmatrix} = M \begin{bmatrix} \partial_x \\ \partial_y \end{bmatrix},$

$M = \mathrm{Jac}(\varphi)^T,$

$\varphi : (x,y) \mapsto (r \cos\theta , r \sin\theta).$

Il s'agissait d'un exercice où je devais trouver comment écrire les conditions de Cauchy (conditions d'une fonction holomorphe) en coordonnées polaires. L'exercice pouvait être résolu plus facilement mais je tenais à trouver une façon de lier les dérivées partielles par rapport aux variables avant et après un changement de variable.

La page (exo7.emath.fr) sur laquelle j'ai trouvé cette relation qui m'a été bien utile parle de $\varphi$ comme un difféomorphisme de changement de variable, chose que je n'ai jamais étudiée.
Je voulais savoir si quelqu'un aurait un cours sur ce sujet à me conseiller pour que je puisse comprendre d'où vient cette relation.

Merci et bonne soirée !

Post-scriptum : est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment écrire en non-italique dans le mode équation de LaTeX s'il-vous-plaît ? Je n'ai pas trouvé comment faire cela simplement.

paf · March 2018

Bonjour,

Si $U$ est un ouvert de $\mathbb R^2$ et $f : U\to\mathbb R^2$ est différentiable alors $g = f\circ\varphi$ est différentiable sur $V=\{(r,\theta)\in\mathbb R^2\;|\varphi(r,\theta)\in U\} = \varphi^{-1}(U)$. Je te laisse appliquer le théorème de différentiation des fonctions composées pour conclure que la jacobienne de $g$ en tout point $(r,\theta)$ de $V$ est un produit de jacobiennes. En prenant la transposée de chaque côté, on obtient la formule que tu as donnée.

Pour LaTeX, les fonctions usuelles comme $\cos$ s'obtiennent sans italique en les précédant juste d'un \
Pour écrire du texte non italique en général dans une formule, les commandes \text{} ou \mathrm{} fonctionnent comme $\text{ceci}$.

Reylo · April 2018

Merci pour ton explication mais je pense qu'il va falloir que je trouve un bon cours sur la différentiation avant de pouvoir faire cette démonstration tout seul. Ce qui m'intéresse c'est surtout de comprendre la différentiation en général plutôt que de comprendre seulement cette démonstration ; c'est pour cela que je demande si quelqu'un aurait une référence d'un bon cours sur ce sujet.

Difféomorphisme et changement de variable

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32