Fonctions particulières
Bonjour,
ayant lu, que contrairement aux séries, si une intégrale de 0 à + l'infini converge alors l'intégrande ne tend pas forcément vers 0 en + l'infini (sauf si la limite existe) je me suis donc mis à la recherche de fonctions dont l'intégrale converge et qui n'admettent pas de limite en + l'infini, en vain...
Je suis donc à la recherche d'une telle fonction (j'aimerais premièrement, juste une fonction sans la preuve de la convergence que j'aimerais faire).
De l'aide svp ?
Merci
ayant lu, que contrairement aux séries, si une intégrale de 0 à + l'infini converge alors l'intégrande ne tend pas forcément vers 0 en + l'infini (sauf si la limite existe) je me suis donc mis à la recherche de fonctions dont l'intégrale converge et qui n'admettent pas de limite en + l'infini, en vain...
Je suis donc à la recherche d'une telle fonction (j'aimerais premièrement, juste une fonction sans la preuve de la convergence que j'aimerais faire).
De l'aide svp ?
Merci
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Réponses
Considère par exemple l'indicatrice de $\mathbb{N}$.
\[\int_0^{+\infty}\cos(t^2)\mathrm{d}t=\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\mathrm{d}t=\frac12\sqrt{\frac\pi2}.\]
On peut d'ailleurs adapter ce genre de constructions pour avoir des fonctions lisses.
cos et sin sont périodiques et non constantes donc n'admettent pas de limite en + l'infini mais comment l'établir pour cos t^2 et sin t^2 (excusez l'abus de notation)
L'indicatrice de N est elle continues par morceaux ? Comment montrer avec des epsilon qu'elle ne tend pas vers 0?
(a) On raisonne par l'absurde et on suppose que l'on dispose de $\ell\in\mathbb{R}$ tel que $\lim\limits_{t\to +\infty}\cos\left(t^2\right)=\ell$
On sait que $\lim\limits_{t\to +\infty}\sqrt{t}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty}\cos\left(t^2\right)=\ell$
Donc, d'après la règle de composition des limites, $\lim\limits_{t\to +\infty}\cos\left(\sqrt{t}^2\right)=\ell$
Donc, $\lim\limits_{t\to +\infty}\cos\left(t\right)=\ell$.
Or, $\cos$ n'admet pas de limite en $+\infty$ en tant que fonction périodique non constante (je te laisse redémontrer ce résultat).
On en déduit donc une contradiction.
(b) $\mathbb{1}_{\mathbb{N}}$ est bien continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ car elle l'est sur tout segment inclus dans $\mathbb{R}$
(c) Si $\mathbb{1}_{\mathbb{N}}$ admet une limite nulle en $+\infty$, alors, pour tout $\varepsilon>0$, on dispose de $x_0\in\mathbb{R}$ tel que pour tout $x\geqslant x_0$, $\left\vert\mathbb{1}_{\mathbb{N}}(x)-0\right\vert \leqslant \varepsilon$
Connaissant la fonction $\mathbb{1}_{\mathbb{N}}$, vois-tu ce qu'il suffit de choisir pour $\varepsilon$ pour trouver une contradiction ?
Comme ton intégrale généralisée est une limite d'intégrales sur des intervalles [0, A], la question utile est "Pour A>0, l'indicatrice de $\N$ est elle continue par morceaux sur [0;A] ?" J'imagine que tu es capable de conclure toi-même.
Cordialement.
concernant l'indicatrice de N, je suppose qu'il suffit de prendre epsilon strictement plus petit que 1 dès lors il existe un epsilon strictement positif qui ne vérifie pas la chose...je sais pas si c'est clair...
Intuitivement je dirais que l'intégrale sur R+ de l'indicatrice de N est 0, en écrivant (pour tout A strictement positif)
intégrale de 0 à A de l'indicatrice de N évaluée en x dx = somme pour k allant de 0 à E(A)-1 (E(x) désignant la partie entière de x) de l'intégrale de k à k+1 de l'indicatrice évaluée en x dx + (en dehors du sigma) intégrale de partie entière de A à A de l'indicatrice de N évaluée en x dx, ce qui donne 0 et en faisant tendre A vers + l'infini 0 tend vers 0...
Est-ce juste?
Sinon comment obtenir de façon "simple" la convergence de l'intégrale proposée par maths cross (Fresnel) sans calculer sa valeur?
Une intégration par parties ?
Bonne journée, Joyeuses Pâques 2018.
Fr. Ch.
Pour le fait que l'indicatrice $\mathbf{1}_\N$ de $\N$ n'a pas de limite en l'infini (et notamment, pas de limite nulle), constater que $\lim_{n\to+\infty}\mathbf{1}_\N(n)=1$ et $\lim_{n\to+\infty}\mathbf{1}_\N(n\sqrt{2})=0$.
Pour expliciter la proposition de gb pour montrer la convergence de l'intégrale de $t\mapsto\cos(t^2)$, voici une façon de faire une intégration par parties (où $A>0$ est provisoirement fixé) :
\[\int_1^A\cos(t^2)\mathrm{d}t=\frac12\int_1^{+\infty}\frac1t\times2t\cos(t^2)\mathrm{d}t
=\frac12\left[\frac1t\sin(t^2)\right]_1^A+\frac12\int_1^A\frac{\sin t^2}{t^2}\mathrm{d}t,\]etc.
d'autant + que un des deux choix fait diviser par 2t et en 0 ça pose problème...
Et encore, dans ce cas très précis, vu que la fonction $t\mapsto\frac{\sin t^2}t$ est continue en $0$ (plus précisément, elle se prolonge par continuité), ce n'est pas nécessaire. Cela l'est pour l'autre, l'intégrale de $t\mapsto\sin t^2$, qui fait apparaître $\frac{\cos t^2}{t}$ et là, pas de prolongement possible en $0$.
Merci bien !
NB : Ça, c'est une trivialité. Il y a une espèce de réciproque qui est un zeste plus relevée, que l'on peut appeler « critère séquentiel de limite », que voici. Soit $f:I\to\R$ une fonction définie disons sur un intervalle $I$ et soit $a$ un point adhérent à $I$ (il est dans $I$ ou sur le bord de $I$, par exemple $I=\R^+$ et $a=+\infty$). Alors $f$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) en $a$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ qui tend vers $a$, la suite $\bigl(f(u_n)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $\ell$.
Oui d'accord, je pensais à la même chose! Merci cela clarifie la limite (sans mauvais jeu de mots) des analogies que l'on peut faire entre les intégrales impropres et les séries numériques
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Il me semble qu'on peut les calculer en étudiant :
\[f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i} \,dt.\]
Certes, tout ne tourne pas autour des programmes de prépas, ou de ce qu'il en reste, et je suis heureux de pouvoir sur ce forum intervenir parfois sur des sujets qui ne figurent plus dans ces programmes.
Quand je pose ma question, ce n'est pas pour supprimer les solutions qui ne sont pas dans ces programmes, mais au contraire pour ajouter les solutions qui y sont. Il faut voir mon souci comme un plus et non comme un moins. Je pose la question parce que je travaille à ce niveau.
Je me lamente périodiquement de que ces programmes ont été « flingués » comme tu dis, mais lorsque je parle à des professeurs de ces classes, même dans des lycées de niveau convenable, je constate qu'il leur est déjà difficile de faire passer ces programmes en l'état. Le mal est plus profond, il est en amont. Par exemple, on a ajouté des rudiments de calcul des probabilités, ce qui est une bonne innovation ; mais si les variables aléatoires finies étaient traitées en Terminale comme dans les années 1970, cela libèrerait du temps pour autre chose.
Bien cordialement, bonne journée.
Fr. Ch.
Merci pour cette piste, je vais regarder.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Mais quand je vois qu'on peut même plus faire une intégrale double ou curviligne, ou encore une série de Fourier, tout ça pour jouer avec des probas discrètes (et j'aime beaucoup les probas ! mais quand c'est bien fait dans le bon cadre), je suis bien content d'avoir bénéficié des anciens programmes :-D
Sûrement que cette question est triviale mais je n'ai pas de solution, j'ai bien essayé en faisant le même genre d'IPP que mathscross mais aucun critère n'aboutit
Merci
Et elle a été posée lors des oraux 2017 de Mines-Ponts, exercice 713, RMS 128-2, février 2018, p. 100.
La partie emm..nnuyeuse est le calcul de $\displaystyle \int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}+i}=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{t^{2}}{t^{4}+1}dt-i\int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{1}{t^{4}+1}dt$.
Ces deux intégrales, à décomposer en éléments simples, c'est à périr d'ennui.
Je préfère utiliser un lemme.
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Si $\zeta \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$, alors : $\displaystyle\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{-x}^{x}\frac{dt}{t-\zeta }=(sgn( Im~\zeta) )i\pi $.
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Ce sont des résidus-sans-le-dire, mais c'est prouvable élémentairement, juste en calculant l'intégrale, parties réelle et imaginaire, etc.
Du coup : $\displaystyle \frac{1}{t^{2}+i}=\frac{1}{2\omega }(\frac{1}{t-\omega }-\frac{1}{t+\omega })$, avec : $\omega =\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$, et par suite : $\displaystyle \int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}+i}=\frac{1}{2\omega }%
\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }(\frac{1}{t-\omega }-\frac{1}{t+\omega }%
)dt=\frac{1}{2\omega }(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }%
\int\nolimits_{-x}^{x}\frac{1}{t-\omega }dt-\underset{x\rightarrow +\infty }{%
\lim }\int\nolimits_{-x}^{x}\frac{1}{t+\omega }dt)=$ etc.
C'est plus simple je trouve.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Par ce même changement de variable on obtient $I=\displaystyle \int\nolimits_{1}^{+\infty }\frac{t^{2}+1}{t^{4}+1}dt$ puis on fait le changement de variable $u=t-\dfrac1t$ qui donne $I=\displaystyle \int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{1}{2+u^{2}}du=\dfrac{\pi}{2\sqrt2}$.