Fonctions particulières

On a parlé de choses semblables il y a peu. Un exemple standard est l'intégrale de Fresnel :
\[\int_0^{+\infty}\cos(t^2)\mathrm{d}t=\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\mathrm{d}t=\frac12\sqrt{\frac\pi2}.\]

Bonjour

Jp59 a écrit:

L'indicatrice de N est elle continues par morceaux ?

Comme ton intégrale généralisée est une limite d'intégrales sur des intervalles [0, A], la question utile est "Pour A>0, l'indicatrice de $\N$ est elle continue par morceaux sur [0;A] ?" J'imagine que tu es capable de conclure toi-même.

Cordialement.

Bonjour,

Une intégration par parties ?

Pour justifier l'absence de limite de $f:t\mapsto\cos(t^2)$ en l'infini, on constate que $\lim_{n\to+\infty}f(\sqrt{2n\pi})=1$ et $\lim_{n\to+\infty}f(\sqrt{(2n+1)\pi})=-1$.

Pour le fait que l'indicatrice $\mathbf{1}_\N$ de $\N$ n'a pas de limite en l'infini (et notamment, pas de limite nulle), constater que $\lim_{n\to+\infty}\mathbf{1}_\N(n)=1$ et $\lim_{n\to+\infty}\mathbf{1}_\N(n\sqrt{2})=0$.

Pour expliciter la proposition de gb pour montrer la convergence de l'intégrale de $t\mapsto\cos(t^2)$, voici une façon de faire une intégration par parties (où $A>0$ est provisoirement fixé) :
\[\int_1^A\cos(t^2)\mathrm{d}t=\frac12\int_1^{+\infty}\frac1t\times2t\cos(t^2)\mathrm{d}t
=\frac12\left[\frac1t\sin(t^2)\right]_1^A+\frac12\int_1^A\frac{\sin t^2}{t^2}\mathrm{d}t,\]etc.

Il faut évacuer $0$ pour pouvoir faire cette manipulation. Comme la fonction est continue sur $[0,1]$, l'intégrale sur $\left[0,+\infty\right[$ est convergente SSI l'intégrale sur $\left[1,+\infty\right[$ est convergente.

Et encore, dans ce cas très précis, vu que la fonction $t\mapsto\frac{\sin t^2}t$ est continue en $0$ (plus précisément, elle se prolonge par continuité), ce n'est pas nécessaire. Cela l'est pour l'autre, l'intégrale de $t\mapsto\sin t^2$, qui fait apparaître $\frac{\cos t^2}{t}$ et là, pas de prolongement possible en $0$.

Oui, jrp59s : « règle de composition des limites », comme dit Bbidule.

NB : Ça, c'est une trivialité. Il y a une espèce de réciproque qui est un zeste plus relevée, que l'on peut appeler « critère séquentiel de limite », que voici. Soit $f:I\to\R$ une fonction définie disons sur un intervalle $I$ et soit $a$ un point adhérent à $I$ (il est dans $I$ ou sur le bord de $I$, par exemple $I=\R^+$ et $a=+\infty$). Alors $f$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) en $a$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ qui tend vers $a$, la suite $\bigl(f(u_n)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $\ell$.

L'analogie est forte quand même, compare en particulier les théorèmes de passage à la limite, continuité ou dérivation des séries de fonctions et des intégrales à paramètre. Elle n'est pas complète parce qu'une fonction, c'est moins rigide qu'une suite.

Tout ne tourne pas autour des programmes de prépa. Et heureusement d'ailleurs, vu comment ils ont été flingués.

@ skyffer3

Certes, tout ne tourne pas autour des programmes de prépas, ou de ce qu'il en reste, et je suis heureux de pouvoir sur ce forum intervenir parfois sur des sujets qui ne figurent plus dans ces programmes.

Quand je pose ma question, ce n'est pas pour supprimer les solutions qui ne sont pas dans ces programmes, mais au contraire pour ajouter les solutions qui y sont. Il faut voir mon souci comme un plus et non comme un moins. Je pose la question parce que je travaille à ce niveau.

Je me lamente périodiquement de que ces programmes ont été « flingués » comme tu dis, mais lorsque je parle à des professeurs de ces classes, même dans des lycées de niveau convenable, je constate qu'il leur est déjà difficile de faire passer ces programmes en l'état. Le mal est plus profond, il est en amont. Par exemple, on a ajouté des rudiments de calcul des probabilités, ce qui est une bonne innovation ; mais si les variables aléatoires finies étaient traitées en Terminale comme dans les années 1970, cela libèrerait du temps pour autre chose.

Bien cordialement, bonne journée.
Fr. Ch.

chaurien a écrit:

Il faut voir mon souci comme un plus et non comme un moins.

(tu)

Mais quand je vois qu'on peut même plus faire une intégrale double ou curviligne, ou encore une série de Fourier, tout ça pour jouer avec des probas discrètes (et j'aime beaucoup les probas ! mais quand c'est bien fait dans le bon cadre), je suis bien content d'avoir bénéficié des anciens programmes :-D

C'est beaucoup plus simple. Tu connais une primitive du cosinus, donc tu peux facilement voir si ton intégrale impropre converge.

Encore merci à gb pour le calcul des intégrales de Fresnel dans le cadre rabougri des programmes de Math-Spé 2013. J'ai retrouvé cette méthode, avec d'autres, sur Wikipédia en français, notice pour une fois meilleure que son analogue en anglais : https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Fresnel
Et elle a été posée lors des oraux 2017 de Mines-Ponts, exercice 713, RMS 128-2, février 2018, p. 100.

La partie emm..nnuyeuse est le calcul de $\displaystyle \int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}+i}=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{t^{2}}{t^{4}+1}dt-i\int\nolimits_{0}^{+\infty }\frac{1}{t^{4}+1}dt$.
Ces deux intégrales, à décomposer en éléments simples, c'est à périr d'ennui.

Je préfère utiliser un lemme.
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Si $\zeta \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$, alors : $\displaystyle\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\int_{-x}^{x}\frac{dt}{t-\zeta }=(sgn( Im~\zeta) )i\pi $.
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Ce sont des résidus-sans-le-dire, mais c'est prouvable élémentairement, juste en calculant l'intégrale, parties réelle et imaginaire, etc.

Du coup : $\displaystyle \frac{1}{t^{2}+i}=\frac{1}{2\omega }(\frac{1}{t-\omega }-\frac{1}{t+\omega })$, avec : $\omega =\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$, et par suite : $\displaystyle \int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}+i}=\frac{1}{2\omega }%
\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }(\frac{1}{t-\omega }-\frac{1}{t+\omega }%
)dt=\frac{1}{2\omega }(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }%
\int\nolimits_{-x}^{x}\frac{1}{t-\omega }dt-\underset{x\rightarrow +\infty }{%
\lim }\int\nolimits_{-x}^{x}\frac{1}{t+\omega }dt)=$ etc.
C'est plus simple je trouve.

Bonne journée.
Fr. Ch.