Décroissance d'une fonction

Bonjour à tous
D'abord, je remercie tout ceux qui prendront le temps de répondre à ma question. Voici mon problème:

Je veux démontrer le théorème suivant:
Soit $f: [0, +\infty[ \to [-\infty, +\infty]$ une fonction décroissante avec $f(x)<\infty$ si $x>0$. Soit $\alpha \ge 0$.
Alors la fonction $\displaystyle \beta \mapsto \frac{1}{\beta} \int_{\alpha}^{\alpha + \beta} f(x) dx, \beta > 0$ est décroissante.

J'aimerais le prouver sans passer par les dérivées. Je procède donc de la manière suivante.
Soit $\beta_1, \beta_2 > 0$ tels que $\beta_1 < \beta_2$. Je dois donc montrer que
$\displaystyle \frac{1}{\beta_1} \int_{\alpha}^{\alpha + \beta_1} f(x) dx \ge \frac{1}{\beta_2} \int_{\alpha}^{\alpha + \beta_2} f(x) dx$.

Comme $\beta_1 < \beta_2$, je coupe la seconde intégrale et je simplifie mon inégalité. Il faut donc montrer que
$\displaystyle \Big(\frac{1}{\beta_1}-\frac{1}{\beta_2}\Big) \int_{\alpha}^{\alpha + \beta_1} f(x) dx \ge \frac{1}{\beta_2} \int_{\alpha+\beta_1}^{\alpha + \beta_2} f(x) dx$.

Malheureusement, à partir de là, je ne vois pas quel argument utiliser pour montrer que cette inégalité est vraie. Quelqu'un pourrait-il m'aider, s'il vous plaît ? J'espère avoir été assez précise.
Merci à tous. Bonne journée.