Intégrale double dans $\mathbb R^{2N}$

mohammed srati · April 2018

Salut tout le monde
J'ai la question suivante.

Si on prendre $\Omega$ un borné de $\R^N$. est-ce que l'intégrale suivante est finie ? $$\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac 1{|x-y|^N }dxdy
$$ On utilise le critiqueère de Riemann, puisque $\Omega \times \Omega$ est dans $\mathbb R^{2N}$, et $N<2N$

Merci.

Tryss · April 2018

Que penses tu de $\Omega = ]0,1[$ (et donc $N=1$)?

mohammed srati · April 2018

Par changement de variable on pose $z=x-y$ on a $$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac 1{|x-y|} dxdy =\int_{0}^{1} \int_{-y}^{1-y} \frac 1{|z|} dzdy =\int_{0}^{1} \ln\Big|\frac{1-y}y\Big|dy$$ et $\ln$ est intégrable au voisinage de 0.

mohammed srati · April 2018

Le problème se pose au voisinage de 0, donc la question quel est le bon changement de variable qu'on doit prendre dans le cas général ?

Tryss · April 2018

Quelque soit $y\in [0,1], \int_{-y}^{1-y} \frac{1}{|z|} dz = + \infty $, et pas $\ln \left| \frac{1-y}{y} \right|$. En effet, $0 \in [-y, 1-y]$, et $\frac{1}{|z|}$ n'est pas intégrable au voisinage de $0$

mohammed srati · April 2018

Merci de votre répond mais :
$y$ est approche a $0$ et $1$ et n'est pas exactement égale. Quand on calcul l’intégrable, on peut également utilisé les limites quand $y$ tend vers $0$ et quand $y$ tend vers $1$

P. · April 2018

$\int_{\Omega^2}\frac{dxdy}{\|x-y\|^{N-1}}<\infty$ mais $\int_{\Omega^2}\frac{dxdy}{\|x-y\|^{N}}=\infty.$ Pour le voir, faire le changement de variable $(x,y)\mapsto (x,z)=(x,x-y)$. Tu tomberas sur $\int_B\frac{dz}{\|z\|^N}$ avec $B$ une boule centree en zero. Par passage aux coordonnees polaires $z=r\theta$ tu as $dz=r^{N-1}dr d\theta$ ou $d\theta$ est la mesure uniforme sur la sphere. Et $\int_0^1\frac{dr}{r}=\infty.$

mohammed srati · April 2018

Merci beaucoup

Intégrale double dans $\mathbb R^{2N}$

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22