Fourier et la dérivation

bill
bill
dans Analyse
Salut
j'ai la proposition suivante.

Soit $f \in L^1(\R)$. Si $(xf): x \mapsto x f(x)$ est intégrable, alors $Ff$ est de classe $C^1$ et on a $(Ff)'= -iF(xf)$.

Alors ce qui m'intéresse pour l'instant c'est de montrer que si $f \in L^1$ et $x \mapsto (xf)$ est intégrable alors $Ff$ est de classe $C^1$. Quelqu'un peut me donner une piste pour démontrer ce résultat ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il suffit de savoir à quelle condition on peut dériver sous un signe intégrale, tu dois connaître un théorème te permettant justement de faire ça !
  • Math Coss
    Math Coss
    Théorème de convergence dominée sous la forme du théorème de dérivation des intégrales à paramètres ?
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Il suffit d'utiliser le théorème de Leibniz qui assure la dérivabilité des intégrales dépendant d'un paramètre.
  • bill
    bill
    Oui le théorème de dérivation sous le signe somme nous dit que si on considère l'intégrale $G(t)= \displaystyle\int g(t,x) dx$ alors si $|g(t,x)| \leq f(x) \in L^1$ on a $\dfrac{d}{dt} G(t)= \displaystyle\int \dfrac{d}{dt} g(t,x) dx$.
    @gb: on l'appelle aussi le théorème de Leibniz?
  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est absolument pas l'énoncé du théorème de dérivation sous le signe intégrale, comment obtiens-tu un résultat sur la dérivée en majorant juste l'intégrande ?
  • bill
    bill
    Non pardon j'ai oublié d'écrire la dérivée. On majore $|\dfrac{d}{dt} g(x,t)|$ par une fonction $L^1$ et PAS $g(x,t)$.
  • Poirot
    Poirot
    C'est mieux. Pour être rigoureux il faut au moins supposer l'existence de ta fonction $G$ sur un certain intervalle $I$. Et le résultat est que $G$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est donnée par la formule que tu as écrite.

    Ça ne devrait pas être trop dur à appliquer dans ton cas !
  • bill
    bill
    Ce que je propose pour répondre à la question est: Par définition $Ff(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix \xi} f(x) dx$.
    On a $$
    \Big|\dfrac{d}{d \xi} (e^{-ix\xi} f(x))\Big|= |-ix e^{-ix\xi} f(x)| \leq |x f| \in L^1.
    $$ Ainsi, par le théorème de dérivation d'une intégrale paramétrée on conclut que $\xi \mapsto Ff(\xi)$ est de classe $C^1$ et $(Ff)'(\xi)= -i F(xf)(\xi)$.

    Pour l'intervalle $I$, il me semble que si c'est vrai sur tout $\R$ ça l'est sur un intervalle.
    Qu'est-ce qu'il faut remarquer de cette propriété ? On sait que si $f \in L^1$ alors $Ff$ est continue. Mais si on a en plus que $x f \in L^1$ alors on obtient plus de régularité et la transformée de Fourier devient de classe $C^1$. Comment expliquer ce phénomène de régularité ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Une notation où il y a à gauche du signe $\le$ des trucs qui dépendent de $x$ et à droite, $|xf|$, ça ne va pas. La notation $xf$ (ou $|xf|$) est difficile à interpréter parce qu'elle mélange un réel ($x$) et une fonction. En tout cas, elle ne peut pas apparaître comme un substitut de $|xf(x)|$ – danger ! Et écrire dans la même ligne $|xf|\in L^1$ alors qu'on a une inégalité qui parle d'un réel fixé dépendant d'un $x$ qui a été fixé (ou aurait dû l'être), ce n'est pas du tout une bonne idée.

    Plus haut, l'expression « $|\dfrac{d}{dt} g(x,t)|$ par une fonction $L^1$ » est au mieux très imprécis. S'il faut l'interpréter, je comprendrais qu'il faut majorer une fonction de deux paramètres par une autre fonction de deux paramètres, donc – et il aurait mieux valu écrire $|\dfrac{\partial}{\partial t} g|$ (avec une dérivée partielle mais surtout sans le « $(x,t)$ »). Mais bien sûr, ce n'est pas de cela que tu veux parler, c'est de la fonction d'une variable $x\mapsto |\dfrac{d}{dt} g(x,t)|$ qu'il faut majorer pour tout $t$ par une fonction intégrable (moralement : de $x$) et indépendante de $t$.

    Ensuite, dans un registre différent, il est clair que la majoration ne suffit pas à garantir la continuité de la dérivée. Il faut en plus, pour tout $x$, la continuité de la fonction $x\mapsto \dfrac{d}{dt} g(x,t)$.

    Ensuite, tu dis « si c'est vrai pour tout intervalle $I$ c'est vrai sur $\R$ » : d'où sort ce $I$ ? Ne serait-ce pas un argument mal compris que tu lances au hasard ?

    D'autre part, l'inégalité de domination de la forme $|g(x,t)|\le h(x)$ est inutile pour le théorème de dérivation. En revanche, il faut une hypothèse quand même (moins forte) : laquelle ? Ainsi, ce n'est pas que tu as « oublié une hypothèse », c'est que tu t'es trompé d'hypothèse.

    Ça fait beaucoup d'erreurs pour une application immédiate d'un théorème fondamental (oui : fondamental). Il faudrait retravailler le cours, le cours, et puis encore un peu le cours s'il te reste cinq minutes. Lequel ? celui d'intégration pardi !
  • Poirot
    Poirot
    Comme l'explique Math Coss, tu as de graves problèmes de rédaction à régler au plus vite. Ce que tu écris est au mieux très approximatif, au pire faux !
  • bill
    bill
    Je suis tout à fait d'accord qu'il faut majorer $|\dfrac{d}{d\xi} g(\xi,x)|$ indépendemment de $\xi$. Il faut donc trouver une fonction continue par morceaux et intégrable $g$ telle que pour tout $\xi \in \R$ on aie l'inégalité $|\dfrac{d}{d\xi} g(\xi,x)|\leq g(x)$, et c'est la condition pour appliquer ce théorème fondamental.
    Maintenant revenons à la majoration. En fait je ne comprend pas bien votre remarque. Vous êtes d'accord que $|-i x e^{- i x \xi} f(x)|= |x f|$?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ma remarque, c'est que tu mélanges des torchons et des serviettes en ayant une façon beaucoup trop relâchée (ou vague ou floue ou fausse) d'écrire tes mathématiques.

    Non parce que d'un côté, on a un réel (le module du nombre complexe $-\mathrm{i}x\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi}f(x)$) et de l'autre, un truc indéfini, produit d'un réel mal défini (noté $x$) et d'une fonction (notée $f$).

    Si tu avais écrit que $\left|-\mathrm{i}x\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi}f(x)\right|\le |\left|xf(x)\right|$ en précisant que cette majoration est valable pour tout $x$ et tout $\xi$, j'aurais été d'accord. Si tu avais ajouté que la fonction $x\mapsto xf(x)$ est intégrable par hypothèse, cela aurait permis de franchir un autre pas.

    Que manque-t-il encore ? Rien que des choses ((encore) plus) faciles mais lesquelles ?
  • bill
    bill
    Ok je vois le problème. J'ai manqué de rigueur dans ma réponse. Une réponse plus rigoureuse serait:
    1. pour tout $\xi \in \R$, la fonction $\xi \to e^{-i x \xi} f(x)$ est continue est intégrable sur $\R$.
    2. la fonction $\xi \to e^{-ix \xi} f(x)$ est dérivable.
    3. pour tout $\xi \in \R$, la fonction $x \to \dfrac{d}{d \xi}(e^{-i x \xi} f(x))$ est continue sur $\R$ donc continue par morceaux sur $\R$.
    4. pour tout $x \in \R$, la fonction $\xi \to \dfrac{d}{d \xi}(e^{-i x \xi} f(x))$ est continue sur $\R$.
    5. On a pour tout $\xi \in \R$
    $$
    |\dfrac{d}{d \xi} (e^{-i x \xi} f(x)|= |- i x e^{-i x \xi} f(x)| \leq |x f(x)|,
    $$
    et on a par hypothèse que $x f(x) \in L^1(\R)$.
    On conclut alors par le théorème de dérivation d'une intégrale paramétrée que la fonction $\xi \to Ff(\xi)$ est de classe $C^1$ sur $\R$, et pour tout $\xi \in \R$ on a
    $$
    (Ff(\xi))'= -i F(x f)(\xi).
    $$
  • Math Coss
    Math Coss
    Il y a du mieux. Cependant...
    1) Petite faute de frappe : à $\xi$ fixé, c'est $x\mapsto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi}f(x)$ qu'il faut considérer.
    Surtout, si cette fonction est intégrable, tu n'as dit nulle part qu'elle est continue. Selon où tu es, c'est nécessaire ou pas (en L3, elle n'est pas continue ; à l'agrég. interne, elle est continue par morceaux ; question de programme...).

    2) Il faudrait préciser que c'est vrai pour tout $x$ et que non seulement la fonction $\xi\mapsto \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x\xi}f(x)$ est dérivable, mais qu'en plus la dérivée est continue.

    3) Pareil qu'en 1), il n'y a a priori pas de raison d'invoquer la continuité (par morceaux) pour assurer l'intégrabilité.

    Pour la suite, OK à deux notations abusives près du même genre.
    D'une part, c'est la fonction $x\mapsto xf(x)$ qui est intégrable (et pas le réel $xf(x)$ – qui serait $x$ d'ailleurs ?).
    D'autre part, la notation pour la dérivée n'est pas $\bigl(f(x)\bigr)'$ mais $f'(x)$ car c'est la fonction que l'on dérive et pas le réel $f(x)$. Il faut donc noter $(Ff)'(\xi)$ et pas $(Ff(\xi))'$.
    Reste un abus sur $F(xf)$ mais je ne sais pas comment l'éviter sans alourdir. On peut éventuellement noter $X$ au lieu de $x$ mais ça n'est pas terrible non plus. Cf. ce fil.
  • bill
    bill
    Merci Math Coss pour votre rigueur et vos remarques pertinente, merci à tous pour l'aide.
  • bill
    bill
    J'ai une autre question.
    Qu'est-ce qu'il faut remarquer de cette propriété ? On sait que si $f \in L^1$ alors $Ff$ est continue. Mais si on a en plus que $x f \in L^1$ alors on obtient plus de régularité et la transformée de Fourier devient de classe $C^1$. Comment expliquer ce phénomène de régularité ?
  • Poirot
    Poirot
    Bah l'explication c'est la démonstration ! Il ne faut pas imaginer de raisons mystiques à ça...
  • bill
    bill
    Bien compris Poirot, encore une fois merci! :-)
  • marsup
    marsup
    La théorie de Fourier est un théâtre d'ombres, sur lequel les sorciers se penchent.

    La vérité, c'est que tout, en théorie de Fourier est miraculeux (cela dit, si on regarde chez Pontryagin, et en analyse harmonique, ça a l'air d'être des miracles très très fondamentaux !).

    La théorie a l'air de dire que plus le signal est local (décroissance rapide, voire support compact), plus sa transformée est régulière ($C^\infty$, voire analyticité).

    Elle a aussi l'air de dire, que plus le signal est régulier, plus sa transformée est locale.

    Tout ça a l'air cohérent avec $\def\F{\mathcal{F}} \F\circ\F(f)
    = \lambda f$, et avec le principe d'incertitude, si célèbre pour son interprétation quantique.

    Après, pourquoi ? (c'est de la théologie, à ce stade !...)

    Et pourquoi, indépendamment de leur roi Carl Friedrich, les gaussiennes en sont-elles des vecteurs propres ? hmm...

    --Edit

    Je vais encore me faire taper sur les doigts, alors :

    les gaussiennes ne sont pas vecteurs propres, simplement si le signal est gaussien, alors sa transformée est aussi gaussienne.
  • bill
    bill
    Merci marsup pour votre intervention. Je me permets une question : qu'est-ce que vous appelez "signal" ? J'ai lu quelque part qu'il y a une forte relation entre Fourier et la théorie du signal mais j'avoue ne pas avoir compris le lien, ni ce que signifie un signal.
  • marsup
    marsup
    Le signal, c'est $f$ avant de l'avoir transformé.

    Ensuite, c'est la transformée $\mathcal{F}(f)$.

    Ce n'est que de la terminologie, pour avoir l'air plus malin que nous ne sommes :-P (que je ne suis)

    Pour l'explication.

    Tu joues un corde de guitare, et tu enregistres le son, comment trouver quelle note est jouée ? (oups j'allais partir sur une explication, mais la page https://en.wikipedia.org/wiki/Sound_recording_and_reproduction ne contient pas le mot "Fourier", donc je m'abstiens !)

    -- PS :

    https://en.wikipedia.org/wiki/Auto-Tune
    pas le mot "Fourier" non plus... Hallucinant !!
  • bill
    bill
    marsup pouvez vous continuer votre explication qui ne se trouve nul part ailleurs? (avec le Fourier je veux dire)
  • marsup
    marsup
    Ok. Bon un Dirac, c'est très local et très peu régulier.

    Sa transformée est une exponentielle complexe, ce qui est très régulier et très peu local.

    Et réciproquement.

    Pour les notes :

    regarde les deux premières images de l'article wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis

    On joue une note (un La 55Hz) à la guitare basse, et on mesure le signal (domaine temporel) affiché.

    On voit bien, graphiquement, la périodicité mod 1/55Hz.

    La transformée de Fourier (domaine fréquentiel) présente un pic à 55Hz (fréquence fondamentale) et encore ensuite à tous les multiples entiers de cette fréquence.

    Le profil harmonique (après Fourier) permet de reconstituer le signal initial (injectivité).

    C'est sans doute une meilleure idée de discrétiser le profil harmonique (par exemple en filtrant les harmoniques peu intéressantes ; notamment le bruit) que le signal lui-même.

    Ce faisant, on obtient un signal moins complexe, donc plus pur. Dans le cas limite, on trouve juste une seule fréquence : la "note jouée".
  • bill
    bill
    Merci beaucoup marsup :-)
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