Une équation fonctionnelle

Qu'est-ce qui est supposé au juste sur $f$ ? Application de quoi dans quoi, avec quelles hypothèses supplémentaires éventuelles ?

Le quantificateur, d'accord, il le faut, mais surtout : est-ce une application de $\mathbb N$ dans lui-même, ou bien de $\mathbb R$ dans lui-même, ou autre ?

@acetonik : cela ne me semble pas contradictoire, cela signifie juste que l'équation $f(x)=2017$ n'admet pas de solutions.

$f(2017)$ peut (entre autre) prendre n'importe quelle valeur $c \in [\frac{1}{2016}, 2016]$ :

On défini $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x\in [\frac{1}{2016}, 2016]$, $f(x) = (c- \frac{1}{2016}) (x-2016)+\frac{1}{2016}$ pour $x \in [2016, 2017]$ et $\forall x \geq 2017, f(x) = c$, $\forall x < \frac{1}{2016}, f(x) = 2016$

Il doit être possible de montrer que l'ensemble des valeurs possibles de $f(2017)$ est l'ensemble des réels strictement positifs.

Integrator écrivait:

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> $f(x)=\frac{2016\cdot 2017}{x}$

Seul petit problème : cette fonction ne vérifie pas l'équation fonctionnelle de départ (qui impose que dans ta solution on ait $c=1$).

@Tryss: regarde bien l'ensemble d'arrivée de g. Ce n'est pas vraiment une fonction "quelconque".

Soit $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ une fonction continue avec les propriétés $$\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\cdot
f(f(x))=1,\quad\text{et}\quad
f(2016)=\frac{1}{2016}. $$
Calculer $f(2017)$.

Comme $f$ est continue, l'image de $f$ est un intervalle que l'on notera $I$. De plus, $f(x)f(f(x))=1$ pour tout $x$, donc $I$ ne contient pas $0$. Or, $f(2016)>0$ donc $I$ est inclus dans $\R_+^*$.

Pour tout $y\in I$ on a $f(y)=1/y$, donc $I$ est stable par $y\mapsto 1/y$. Il est donc, soit de la forme $[1/a,a]$, soit de la forme $]1/a,a[$ (éventuellement avec $a=+\infty$).

Si $a=+\infty$ alors $f(y)=1/y$ pour tout $y>0$, ce qui contredit la continuité en $0$. Donc $a<\infty$.

Si $I=]1/a,a[$ alors $1/a=\lim_{y\to a,y<a} f(y)=f(a)$ donc $1/a\in I$. Donc $I=[1/a,a]$.

Comme $f(2016)=1/2016$, on a $a\geqslant 2016$. Pour conclure, $f$ est n'importe quelle fonction de la forme suivante. On choisit $a\geqslant 2016$ arbitraire. On pose $f(y)=1/y$ pour $y\in [1/a,a]$, et $f:[a,+\infty[\to [1/a,a]$ est n'importe quelle fonction continue telle que $f(a)=1/a$, et $f:]-\infty,1/a]$ est n'importe quelle fonction continue vérifiant $f(1/a)=a$.

Si $a\geqslant 2017$ alors $f(2017)=1/2017$.

Si $2016\leqslant a<2017$ alors $f(2017)\in [1/a,a]$ est quelconque.

Conclusion : $f(2017)$ est n'importe quelle valeur appartenant à $[1/2017,2017[$.