Convolution et Fourier

La TF est une isométrie (bien normalisée) de $L^{2}(\mathbb{R}^{k})$ dans lui-même. En revanche, elle a une expression intégrale sur $L^{1}\cap L^{2}$ (qui est dense dans $L^{2}$) et c'est une question plus délicate de savoir si elle a encore une expression intégrale sur $L^{2}$ (la réponse est oui mais il faut prendre la limite de l'intégrale au sens des valeurs principales).

Isomorphisme et Isométrie 'linéaire' sont deux objets différents (concernant la TF, il s'agit d'une isométrie et parfois on ajoute surjective même si ici, c'est superflu car l'adjoint de la TF est "presque" elle-même...)

Une isométrie linéaire est une application linéaire qui préserve les normes.
Un isomorphisme est une application linéaire bijective et ici bicontinue.
Pour $L^{1},$ il n'y a pas de résultat similaire car la TF d'une fonction $L^{1}$ est dans $C_{0}^{0}$ (ensemble des fonctions continues qui ont pour limite $0$ en l'infini par Riemann-Lebesgue)... Ces deux espaces fonctionnels sont très différents!
Trouver une condition "faible" qui garantissent l'intégrabilité de la TF d'une fonction $L^{1}$ n'est pas si facile... Par exemple en dimension $1$,être $L\log(L)$ est suffisant. Tu peux voir ce genre de résultats dans la bible moderne de l'analyse de Fourier : le Grafakos ^^

Si $f$ est dans $L^1$ et $Ff$ est dans $L1$, alors

$F[F[f(-x)]](t) = \int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi t} \int_{\mathbb{R}} e^{-i x \xi} f(-x) dx d\xi $

On fait le changement de variable $y=-x$

$ = \int_{\mathbb{R}} e^{-i\xi t} \int_{\mathbb{R}} e^{i y \xi} f(y) dy d\xi$

On fait le changement de variable $\nu = -\xi$


$ = \int_{\mathbb{R}} e^{i\nu t} \int_{\mathbb{R}} e^{- i y \nu} f(y) dy d\nu$

$= \overline{F} [ F[ f]](t)$

On étend ensuite le résultat à $L^2$ par densité (par exemple, en remarquant que $S$ vérifie les hypothèses de départ)

C'est quand même particulièrement loufoque d'avoir deux variables libres $x$ et $t$ à gauche et à droite seulement $x$ (et $t$ et $xi$ en variables muettes) ! Sois plus soigneux au niveau des notations.

Ta dernière ligne n'a pas de sens. Ce que tu calcules est $\mathcal F(\mathcal Fg)(t)$ où $g$ est la fonction $x \mapsto f(-x)$ (qu'on note souvent $\check f$), ou sinon pour garder tes notations mais en donnant un sens : $\mathcal F(\mathcal F(x \mapsto f(-x)))(t)$. Cela donne $$\int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{-it \xi} \mathcal Fg(\xi) \,d\xi = \int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{-it \xi} \left( \int_{\mathbb R} \mathrm{e}^{-i\xi u} f(-u) \,du \right) \,d\xi.$$

Du bon usage des variables muettes (ici $x, \xi$ et $u$).