Sujet calculatoire (fonction à paramètres)
On considère la fonction définie pour $ x \in ]-1, \infty [ $
$$ f(x) = \frac{ax^3+ bx^2 +cx +1}{x+1} - 2a \ln (x+1) $$
où a, b, a sont des paramètres réels avec $a \neq 0 $ et ln désigne la fonction log népérien.
1/ Etudier selon les valeurs de a, b, et c la limite de f(x) quant x tend vers -1 par valeurs supérieurs. Préciser les propriétés de la fonction log (ln) utilisés pour obtenir ce résultat.
2/ Etudier selon les valeurs de paramètre a la limite de f(x) quant x tend vers l'infini. Préciser la propriété de la fonction log (ln) utilisée pour obtenir ce résultat
3/ Calculer la dérivé f' de f.
4/ Dans la question 4 et le suivante, la 5, on pose $ b=1 $ et $ C= 2 a +1 $
Déterminer selon les valeurs de a les racines de l’équation $ f’(x)=0 $ et préciser leur signe. Les racines seront notés dans l’ordre croissant x1, x2, …
5/ Déduire des questions précédentes les tableaux de variations de $ f $ correspondant à chacun des cas que vous estimerez utile de distinguer. Pour simplifier on posera $ A = \frac{a-1}{2a } et B= f(A) $
Dans l’énoncé originale, il y a 6 tableaux de variations « vide » ( x, f’(x) et f(x) ) mais il est indiqué que ce nombre de tableau n’est pas indicatifs du nombres de cas à distinguer.
Pour les réponses aux questions 1/ et 2/, j’ai un résultat mais j’ai un doute.
Pour la 3/ j’ai la dérivé suivante : (sauf erreur de calcul) :
$$ \frac{x^3(3-a) + 3x^2 + bx + c-1}{(x+1)^2} $$
Correct ou erreurs de calculs ?
4/, 5/ Pas fais.
$$ f(x) = \frac{ax^3+ bx^2 +cx +1}{x+1} - 2a \ln (x+1) $$
où a, b, a sont des paramètres réels avec $a \neq 0 $ et ln désigne la fonction log népérien.
1/ Etudier selon les valeurs de a, b, et c la limite de f(x) quant x tend vers -1 par valeurs supérieurs. Préciser les propriétés de la fonction log (ln) utilisés pour obtenir ce résultat.
2/ Etudier selon les valeurs de paramètre a la limite de f(x) quant x tend vers l'infini. Préciser la propriété de la fonction log (ln) utilisée pour obtenir ce résultat
3/ Calculer la dérivé f' de f.
4/ Dans la question 4 et le suivante, la 5, on pose $ b=1 $ et $ C= 2 a +1 $
Déterminer selon les valeurs de a les racines de l’équation $ f’(x)=0 $ et préciser leur signe. Les racines seront notés dans l’ordre croissant x1, x2, …
5/ Déduire des questions précédentes les tableaux de variations de $ f $ correspondant à chacun des cas que vous estimerez utile de distinguer. Pour simplifier on posera $ A = \frac{a-1}{2a } et B= f(A) $
Dans l’énoncé originale, il y a 6 tableaux de variations « vide » ( x, f’(x) et f(x) ) mais il est indiqué que ce nombre de tableau n’est pas indicatifs du nombres de cas à distinguer.
Pour les réponses aux questions 1/ et 2/, j’ai un résultat mais j’ai un doute.
Pour la 3/ j’ai la dérivé suivante : (sauf erreur de calcul) :
$$ \frac{x^3(3-a) + 3x^2 + bx + c-1}{(x+1)^2} $$
Correct ou erreurs de calculs ?
4/, 5/ Pas fais.
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Réponses
$$ \frac{x^3(3-a) + x^2(b-3) + x(2a+2b+1) + 2a+2c }{(x+1)^2} $$
PS : Par exemple, la seule partie de la fonction qui ne dépend pas de $a$, $b$ ou $c$ est $1/(x+1)$ dont la dérivé est $-1/(x+1)^2$. Ta fraction doit donc être de la forme $\dfrac{A-1}{(x+1)^2}$ où $A$ est une fonction linéaire de $a$, $b$ et $c$ (avec des coefficients qui sont des polynômes en $x$, c'est-à-dire un truc de la forme $af_a(x)+bf_b(x)+cf_c(x)$).
$ax^3 + bx^2 + cx+1 = (x+1)( ax^2 + (b-a)x + (c+a-b)) + (1-(c+a-b))$
Ce qui permet d'obtenir que
$f(x) = ax^2 + (b-a)x + (c+a-b) + \frac{1+b-a-c}{x+1} - 2a\ln(x+1)$
Ce qui est, à mon avis, bien plus simple à manipuler
Pour la dévirée de la fonction en $\ln$ j'ai pris $\quad \dfrac{2a}{x+1} $.
Correct ?
Merci.
Si tu écrivais quelques étapes intermédiaires de tes calculs, on pourrait sans doute te dire l'endroit où tu te trompes.
Cordialement.
$$ Pour les questions 1 et 2. Comment faire ? Une indication ?
La question 1 est une simple application des théorèmes sur les limites de fractions dont le dénominateur tend vers 0. Ce qui t'amène à t'interroger sur la valeur du numérateur pour x=1.
Pour la 2, Tryss t'a donné une indication qui règle presque tout (attention à un cas particulier).
Bon travail personnel !
Lorsque x tend vers -1 par valeur supérieur, $ (x+1) \rightarrow 0^+ $ et $ 2a \ln(x+1) \rightarrow -\infty $ puisque lim en $0^+$ de $\ln$ est moins l'infini (comment l'écrire en Latex, SVP ?)
Pour la fraction (x+1), elle tend vers 0 par valeur supérieur. Comment lever l'indétermination ? Comment faire pour le numérateur ?
Justement, je ne m'en souviens plus. Ça fait longtemps. Je me rafraîchit la mémoire sur certains sites.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
$$ $ \lim\limits_{x \rightarrow -1^+} 2a\ln(x+1) = -\infty $
Question: comment faire en Latex pour faire des caractères un peu plus grands (certain sont petits)
Lorsque $ \lim\limits_{x \rightarrow -1^+} $ le numérateur tend vers $ a-1-1 -1 = a -3 $ tandis que le dénominateur tend vers $ -2 $.
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \frac{(a-3)}{-2} = \frac{(3-a)}{2} $
Attention à ce que tu écris : $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow -1^+}$ n'est pas une circonstance, mais un nombre ou $+\infty$ ou $-\infty$. "Lorsque 3" ne veut rien dire.
Et tu racontes n'importe quoi sur ton dénominateur, quand $x\to -1$, x+1 tend vers -1+1 qui ne fait pas -2.
je me demande pourquoi tu t'es lancé dans un exercice très calculatoire alors que tu ne sembles même pas capable de faire des calculs simples. Qui demandent simplement de l'attention.
Cordialement.
c'est $ \lim\limits_{x \rightarrow -1^+} \ln(x) = -\infty $
En revanche, je cale sèchement sur la limite de la fraction rationnelle; Il y a une indétermination a lever, le
dénominateur tend vers 0. Pour le numérateur je trouve $ -1 + a -1 -1 -1 = a-4 $. Soit pour la limite de la fraction une indétermination $\displaystyle (\frac{a-4}{0}) $
Une indication ?
De plus, tu sembles avoir oublié en route b et c !!
\frac{ x^3 \Big(a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\Big) }
{ x^3 \Big( \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \Big) }
$$ $x$ tend vers $-1^+$ ($-1$ par valeurs supérieures) donc $x^3$ tends vers $-1^+$.
Pour le numérateur: $a$ tend vers $a$, $ \frac{b}{x} $ tend vers $-b^+$ et $\frac{c}{x^2} $ tend vers $c^+$ et $ \frac{1}{x^3} $ tend vers $-1^+$.
Pour le dénominateur: $ \frac{1}{x^2} $ tend vers $-1^+$ et $ \frac{1}{x^3} $ tend vers $-1^+$.
Au final on trouve $ \displaystyle \frac{a-b+c-1}{-2} = \frac{b-a-c+1}{2} $
L'expression avec le $\ln$ tend vers $-\infty$ donc $ \lim\limits_{x \rightarrow -1^+} f(x) = -\infty $
Bon, inutile de continuer, quand on est capable d'écrire que $\frac 1 {x^2}$ tend vers -1, on perd son temps : Un nombre toujours positif a évidemment une limite positive, pas-1.
J++, commence par apprendre les calculs élémentaires (combien fait $x^2$ pour $x=-1$, quitte à revenir à $x^2= x\times x$ par exemple), ceux du début du collège.
Si factoriser ici n'apporte rien, comment faut-il faire ? Merci.
mais pourquoi tu ne t'aides pas d'un calculateur formel ? Si tu es un peu rouillé, ça me paraît un outil adapté. Paradoxalement, tu gagneras en autonomie.