La clé : factoriser le plus grand terme. Tu en as trois dont seuls deux tendent vers l'infini. Qui est le plus grand entre $1/x$ et $\ln x$ ? Pour le savoir, tu peux calculer la limite du quotient, dans un sens $\dfrac{\ln x}{\frac1x}$ ou dans l'autre : $\dfrac{\frac1x}{\ln x}$. Cela te permet de choisir ce qu'il faut factoriser.
Au fait, factoriser $g(x)$ dans $f(x)+g(x)+h(x)$, ça veut dire écrire $\displaystyle g(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}+1+\frac{h(x)}{g(x)}\right)$.
A vous lire, j'ai honte d'avoir posé la question.
J'avais commencé directement par mettre x en facteur, et ... je m'étais trompé sur les deux derniers termes, en mettant -x² + x au lieu de -x+1 !
Réponses
Il suffit d'écrire :
\[2\ln x - 1 + \frac1x = \frac1x ( 2x\ln x-x+1)\]
Au fait, factoriser $g(x)$ dans $f(x)+g(x)+h(x)$, ça veut dire écrire $\displaystyle g(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}+1+\frac{h(x)}{g(x)}\right)$.
A vous lire, j'ai honte d'avoir posé la question.
J'avais commencé directement par mettre x en facteur, et ... je m'étais trompé sur les deux derniers termes, en mettant -x² + x au lieu de -x+1 !
Merci de votre réponse rapide !