Série numérique

Blueberry19 · April 2018

Bonjour à tous,
je suis actuellement en train de faire un exercice de révision sur les séries numériques tiré d'un livre de mathématiques (voie économique).
J'ai réussi la première et la deuxième question et trouvé les mêmes résultats que l'auteur du livre.
Mais je n'ai pas réussi la 3ème question, en effet, j'ai trouvé que la série de la question 3 diverge vers moins l'infini tandis que dans le corrigé du manuel , il y a écrit qu'elle converge vers $\ln(2)$. Je ne suis pas très douée en série numérique. Et je ne vois pas où est mon erreur, dans le corrigé du manuel l'auteur donne uniquement la réponse correcte sans justifier ses calculs. Ce qui ne m'aide pas non plus...
Vous trouverez le brouillon de mon travail en pièce-jointe. Ma question porte sur la série qui se trouve près d'un triangle dans la marge.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance.
Bonne journée à tous.

gb · April 2018

Bonjour,

Tu as des erreurs d'écriture (même dans la question 2) :
\[\sum_{k=2}^n \ln\left(1-\frac1n\right) = \ln\left(1-\frac1n\right) + \ln\left(1-\frac1n\right) + \dotsb + \ln\left(1-\frac1n\right) = (n-1)\ln\left(1-\frac1n\right),\]
alors que :
\[\sum_{k=2}^n \ln\left(1-\frac1k\right) = \ln\left(1-\frac12\right) + \ln\left(1-\frac13\right) + \dotsb + \ln\left(1-\frac1n\right) .\]

Dans la question 3, ton erreur provient du changement d'indice $j=n^2-1$ : les valeurs de $j$ ne sont pas des entiers consécutifs, et ta somme ne se simplifie pas.
Il faut écrire :
\begin{align}\sum_{k=2}^n \ln(k^2-1) &= \sum_{k=2}^n \ln\bigl((k-1)(k+1)\bigr) \\
&= \sum_{k=2}^n \bigl(\ln(k-1)+\ln(k+1)\bigr) \\
&= \sum_{k=2}^n \ln(k-1) + \sum_{k=2}^n \ln(k+1) \end{align}
et poser $j=k-1$ dans la première somme, $j=k+1$ dans la seconde.

Blueberry19 · April 2018

Bonjour gb,

merci beaucoup pour votre aide ! Je comprends maintenant, je n'avais pas fait attention que c'était la série des [small]k[/small] allant de 2 à n , j'ai confondu les n avec les k, décidément j'avais vraiment écrit des bétises. Merci pour votre réponse gb !
Et belle journée à vous.

Blueberry19 · April 2018

Bonjour à tous,
je suis actuellement en train de faire des exercices de révision sur les séries numériques tiré d'un livre de mathématiques (voie économique).

J'ai fini une partie de mes exercices et dans le corrigé du manuel l'auteur donne uniquement la réponse correcte sans justifier ses calculs.Je ne suis pas très douée en série numérique, et je voudrais savoir si mon raisonnement est exact et sans erreurs, afin de voir si j'ai bien compris le chapitre sur les séries numériques. Mon travail se trouve en pièce-jointe.
Quelqu'un voudrait bien être gentil, et lire mon travail ainsi que me donner un avis s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Belle soirée à tous.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]

Dom · April 2018

Bonsoir,

Je ne suis pas allé sur le fond, mais je n'ai regardé que la forme.

Les bornes de sommations sont étranges.
Je vois pour la première somme : $\sum_{u_n=1}^{...}$ assez étrange, ce $u_n$.
En dessous, on va de $m=1$ à $m$, voire de $m$ à $m$.

Bon, des détails coquillesques, certainement.

Sauf en "exercice 2" où il semble que l'on manipule une somme infinie (pour les termes de $u$ supérieurs ou égaux à $1$, puis plutôt finie de $n=1$ à $m$ ?). C'est quasiment éliminatoire parfois.

Je reviendrai sur le reste si quelqu'un ne le fait pas déjà.

Bbidule · April 2018

Bonjour,

Quelques remarques:

0) Pourrais-tu nous donner précisément l'énoncé de l'exercice ?
1) dès les premières lignes, $n$ apparaît comme "borne du haut" et comme "indice de sommation" (on voit aussi d'entrée de jeu un $u_n=1$ assez déstabilisant...!)... attention aux "conflits de variables" !
2) Attention à la gestion des équivalents !
Une suite équivalente à la suite identiquement nulle est nécessairement nulle à partir d'un certain rang... les équivalents que tu écris sont faux.
Tu sous-entends en effets $u_n\sim v_n~\Rightarrow \ln(u_n) \sim \ln(v_n)$ ce qui est faux en toute généralité...
Il te faut reprendre le cours sur les équivalents.
3) Attention aux notations: $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1}u_n$, ce n'est pas $\displaystyle\sum_{k=1}^nu_k$...
4) Pour l'exercice $2$, écris $-2\ln(n+1) = -\ln(n+1)-\ln(n+1)$ et reconnaît deux sommes/séries télecopiques!

Bon courage !

Blueberry19 · April 2018

Bonjour Dom et bonjour Monsieur,

Merci pour vos réponses toujours aussi rapides

C'est très gentil !

Vous trouverez dans ce message l'énoncé de l'exercice, je vais écrire un autre message dans les minutes à venir avec quelques questions. 74956

Blueberry19 · April 2018

Rebonsoir,

@Dom, merci pour votre aide.
Oui, pour le $Un$ je voulais écrire $n$. Et il n'y a pas de m c'est ma manière de faire les $n$ haha

Monsieur, merci pour votre aide aussi

1) Oui, pour les équivalents vous avez raison, je viens de me rendre compte que ce que j'ai fait, un camarade l'avait fait aussi et la professeur l'avait classé dans la catégorie " wall of shame" , ( équivalent de votre fiche "d'erreurs grave") Mais si je n'utilise pas les équivalents, je fais comment s'il vous plaît ? Je suis un peu perdue, et je n'ai pas compris..Je n'aime pas trop ce chapitre..Mais je suis obligée de le maîtriser car il est très présent dans les probabilités ..
2) Pour la notation, quelle serait la notation approprié pour mes bornes s'il vous plaît , si je ne peux pas écrire ce que j'ai écrit..
3) Pour l'exercice 2, c'est bon de tout de même ce que j'ai fait s'il vous plaît ? J'avais envie de calculer un peu, mais j'avais bien relu mon cours d'ECE1 et reconnu les sommes téléscopiques

Je vous remercie d'avance,
Belle soirée.

Bbidule · April 2018

Rebonsoir,

J'obtiens le même résultat que toi pour la suite des sommes partielles de l'exercice 2.
Mais si tu reconnais d'entrée de jeu deux sommes télescopiques, tu n'as que 3 lignes à écrire pour obtenir le résultat $S_n = \ln\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)-\ln(2)$
Pour lever la forme indéterminée dans le calcul de la limite, tu peux remarquer ici que $\forall n\in\mathbb{N},~\dfrac{n+2}{n+1} = 1+\dfrac{1}{n+1}$, puis envisager une composition par la fonction $\ln$ qui a le bon goût d'être continue en $1$...
(Tu pouvais aussi factoriser par le terme prédominant au numérateur et au dénominateur (plus laborieux ici).)
Pour ce qui est des notations, il faut que ton indice de sommation soit bien distinct de tes bornes: par défaut, tu peux envisager $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^nu_k$... comme précisé dans l'énoncé !

Bon courage !

Blueberry19 · April 2018

Rebonsoir Monsieur,

Merci beaucoup pour votre aide

!!!
Je suis contente que vous ayez trouvé le même résultat, donc cela veut dire que j'ai bon.
Merci pour l'astuce pour lever la FI et les notations

. Je devrais faire attention aux notations, ma rédaction va me pénaliser au concours, cette année je comprends en mathématiques, mais je rédige mal, et commets des étourderies, en algèbre cela va mieux grâce au conseils de chacun sur ce forum.
Bonne soirée.

Série numérique

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