Définition suite monotone

Pour une suite, ce qui est intéressant pour l'analyse, c'est quand elle est infinie (sinon c'est juste une suite finie de nombres, un objet moins intéressant en analyse, et qui ne nécessite pas autant d'outils). Par ailleurs, qu'elle commence à $n=500$ ou à $ n=0$ n'a aucune importance, on peut se ramener de l'une à l'autre par simple translation de la variable $n$, et les propriétés en l'infini de la suite restent les mêmes, donc ce qui compte c'est d'étudier les suites à partir de $n=0$ puisque ce cadre permet de tout étudier.

Enfin, je pense que tu sauras trouver sans mon aide des suites croissantes puis décroissante puis croissante (en utilisant une fonction continue et affine par morceau par exemple ?). Il existe bien évidemment des suites qui ne sont pas monotones même à partir d'un certain rang ($u_n = \cos(n)$ par exemple).

Bonjour jp.

Étudier les variations de la suite \( (u_n)_{n\in\N} \) définie par
\[ \forall n\in\N, \; u_n = \cos(44n). \]

e.v.

Bonjour,

Une partie bornée de $\mathbb{N}$ est finie, contrairement à une partie bornée de $\mathbb{R}$.

Cordialement,

Rescasool

Y'a rien de bête, et je ne suis pas agacé (juste pressé, mais ça c'est pas de ta faute).

Une partie bornée de $\mathbb N$ est finie, ce n'est pas le cas d'un intervalle borné non vide. Ensuite, même si les suites ont une importance en tant que telles, elles servent aussi beaucoup à étudier les fonctions (via des critères séquentiels par exemple), et dans ce cadre seul leur comportement à l'infini importe. Enfin, l'étude des fonctions ne s'arrête pas à leur monotonie, et si tu fais beaucoup d'exercices là-dessus c'est juste pour t'entraîner, l'analyse a bien d'autres objectifs.

Désolé de ne pouvoir développer plus par manque de temps, mais d'autres compléteront.

@jp59 :
Peut-être que la confusion vient du fait que tu n'as pas la bonne définition pour une suite croissante.

Faisons une comparaison :

On dit qu'une fonction $f$ est croissante sur une partie $I$ de $\R$ si $\forall (a,b)\in I^2, a\leq b \Rightarrow f(a)\leq f(b)$.
On dit qu'une suite $u$ est croissante sur une partie $I$ de $\N$ si $\forall (n,p)\in I^2, n\leq p \Rightarrow u_n \leq u_p$.

Si tu sais qu'une suite n'est rien d'autre qu'un cas particulier de fonction, tu vois immédiatement qu'il s'agit de la même définition très exactement.

Cependant, il existe un théorème pour les suites qui est très pratique et qui est quasiment toujours utilisé pour démontrer la croissance d'une suite sur toute partie $J$ de $\N$ de la forme $J=\{n\in\N, n\geq n_0\}$ :
Si $u$ est une suite telle que $\forall n\in\N, n\geq n_0 \Rightarrow u_{n+1}\geq u_n$ alors $u$ est croissante sur $J$.

(Exo à la CC : prouver ce théorème)

On voit tout de suite l'intérêt d'avoir une suite plutôt qu'une fonction et un ensemble de la forme annoncée... du coup, on oublie les autres cas...

Ce que dit bisam ici est exactement ce qui a déjà été dit à jp59 dans ce fil.