Intégration de l'inverse de la norme

Ange · April 2018

Bonjour
Je souhaiterais de l'aide sur un résultat qui semble aisé à trouver où que je regarde mais il me manque une étape.

Il s'agit de l'intégration au voisinage de 0 d'une fonction $f$ que l'on compare à $$
\frac{1}{||x||_2^2}, \quad\text{avec}\quad x \in \mathbb{R}^n
$$ Le résultat semble affirmer que l'intégration généralisée est possible au voisinage de $0$ si la dimension $n$ est supérieure à $3$ et divergence si inférieure ou égale à $2$.

J'ai beau tournicoter les critères de Riemann et autre domination je ne vois pas.
Merci pour l'aide éventuelle.

GaBuZoMeu · April 2018

Regarde l'intégrale de l'inverse du carré de la norme euclidienne sur la $(n-1)$-sphère de l'espace $\mathbb R^n$ centrée à l'origine de rayon $r$ (facile, la norme est constante égale à $r$ sur cette sphère). Cette fonction de $r$ que tu obtiens, peux-tu l'intégrer jusqu'à $0$ ?
Tu peux appeler $c_n$ le $(n-1)$-volume de la sphère unité dans $\mathbb R^n$, ($c_1=2, c_2=2\pi, c_3=4\pi,\ldots$), cette constante n'influe pas sur l'intégrabilité.

Ange · April 2018

Si j'ai bien compris on écrit ceci et il reste à calculer l'expression de l'aire en espérant que dans l'aire la dimension apparaisse à la puissance n et donc il faut n strictement plus grand que 1 pour que cela soit intégrable. $$
\int_{S(0,r)} \frac{1}{\|x\|_2^2}ds=\int \frac 1{r^2} dS=\frac{1}{r^2} \times\mathrm{Aire}\big(S(0,r)\big).
$$ Merci

GaBuZoMeu · April 2018

Non, ce n'est pas ça.
On obtient bien $\dfrac1{r^2}$ fois le $(n-1)$-volume de la sphère de rayon $r$ dans $\mathbb R^n$.
Comment s'exprime ce $(n-1)$-volume en fonction de $r$ et du $(n-1)$-volume $c_n$ de la sphère unité de $\mathbb R^n$ ?
Conclusion sur l'intégrabilité de l'inverse du carré de la norme ?

Ange · April 2018

Nouvelle tentative :
Volume de la boule : $\quad\displaystyle V^n(r) = \frac{\pi^{n/2} r^n}{\Gamma (\frac{ n} {2} + 1)}$
Aire de la sphere : $\qquad \displaystyle Aire= \frac {2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}$

volume $$\int_{B(0,r)}\frac{1}{||x||^2} dx> \int_{B(0,r)} \frac{1}{r^2}dx= \frac{1}{r^2}V^{(n)}[r]=C\times r^{n-2}
$$ Permet de montrer que cela diverge pour $n<2$
Aire $$\int_{S(0,r)}\frac{1}{||x||^2} ds= \int_{S(0,r)} \frac{1}{r^2}ds= \frac{1}{r^2}Aire=D\times r^{n-3}
$$ Cette dernière expression est intégrable pour $r$ au voisinage de zéro lorsque $n>2$ donc convergence en dimension 3 ou plus et divergence sinon.

GaBuZoMeu · April 2018

Je ne parle pas de boule, mais de sphère. Et dans un espace de dimension $n$, une sphère est de dimension $n-1$ et a un $(n-1)$-volume (qui est une aire si $n=2$).

Intégration de l'inverse de la norme

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