Agreg-modélisation
Bonsoir, préparant l'agreg de maths cette année, je me penche en ce moment sur un texte de modélisation.. j'ai deux questions a vous poser, je mets le sujet en pièce jointe.
- Je dois montrer que l'équa-diff (3) admet bien une unique solution.
J'imagine qu'il s'agit du théorème de Cauchy-Lipschitz, mais n'ayant jamais eu de cours d'équations différentielles, je trouve ce théorème particulièrement ardu à appliquer rigoureusement (surtout qu'il est précisé que (3) n'est pas une qua-diff au sens usuel).
Comment pourrait-on montrer l'existence-unicité d'une solution ?
- Il est également conseillé "d'effectuer l’analyse numérique du schéma d’Euler-trapèzes composés (9)–(10) (consistance, stabilité, convergence)".
J'aurais bien envie d'effectuer l'analyse de la méthode d'[large]E[/large]uler explicite proposée : un+1=un + h phi_n((u)n) sauf que dans (9)-(10) on utilise une deuxième méthode numérique pour approximer phi (méthode des trapèzes) donc j'imagine qu'il est incorrect de ne pas en tenir compte, puisqu'on accumulerait des erreurs d'arrondis ?
Je ne vois pas trop comment définir l'erreur de consistance de ce schéma finalement..
Merci d'avance pour vos réponses,
Pierre
[Leonhard Euler (1707-1783) prend toujours une majuscule. AD]
- Je dois montrer que l'équa-diff (3) admet bien une unique solution.
J'imagine qu'il s'agit du théorème de Cauchy-Lipschitz, mais n'ayant jamais eu de cours d'équations différentielles, je trouve ce théorème particulièrement ardu à appliquer rigoureusement (surtout qu'il est précisé que (3) n'est pas une qua-diff au sens usuel).
Comment pourrait-on montrer l'existence-unicité d'une solution ?
- Il est également conseillé "d'effectuer l’analyse numérique du schéma d’Euler-trapèzes composés (9)–(10) (consistance, stabilité, convergence)".
J'aurais bien envie d'effectuer l'analyse de la méthode d'[large]E[/large]uler explicite proposée : un+1=un + h phi_n((u)n) sauf que dans (9)-(10) on utilise une deuxième méthode numérique pour approximer phi (méthode des trapèzes) donc j'imagine qu'il est incorrect de ne pas en tenir compte, puisqu'on accumulerait des erreurs d'arrondis ?
Je ne vois pas trop comment définir l'erreur de consistance de ce schéma finalement..
Merci d'avance pour vos réponses,
Pierre
[Leonhard Euler (1707-1783) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Sous réserve que je n'ai pas loupé un truc
merci pour ta réponse,
donc si je pose U comme primitive de u, je me retrouve avec une équation différentielle du second ordre, sur wiki il est écrit que le théorème de Cauchy-Lipschitz sert pour des équations du type " u'(t)=f(t,u(t))" donc a priori c'est plutôt pour du premier ordre, non?
si je suis la démarche de me ramener a (12) il faut donc appliquer Cauchy-Lipschitz a un système.. et la je bloque encore..
$$ avec $\ X(t) = \begin{pmatrix} u'(t) \\ u(t) \end{pmatrix}\quad$ et $\quad F\left( t, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} f(t, x_1, x_2) \\ x_1 \end{pmatrix}$