Résolution équation de degré 4 avec condition

Nadesp · April 2018

Bonjour ,
J'ai besoin d'aide. J'essaye de résoudre une équation de degré 4 qui me pose quelques soucis à cause de certaines conditions posées. En gros je dois résoudre l'équation suivante:
0.00857877 (x^4)+0.00168135 (x^2)-0.00332599=0
Le document source précise que les solutions d'une telle équation sont toutes des imaginaires purs ou des complexes (du genre : a1+ib1; a2+ib2; a1-ib1; a2-ib2) et ajoute qu'il est toujours possible d'avoir : b1>0; b2>0 et b1 différent de b2.
Or quand je résous l'équation, toutes les solutions sont effectivement des complexes mais la condition b1 différent de b2 n'est pas remplie.
En gros il faut que cette condition soit respectée pour que je puisse continuer.
Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair ?
Merci d'avance pour vos apports !

AD · April 2018

Bonsoir
Comme on peut s'y attendre puisque ton polynôme de degré 4 est bicarré à coefficients réels, il admet deux racines réelles opposées et deux racines imaginaires pures conjuguées.
0.00857877x4+0.00168135x2-0.00332599 =
0.00857877 *
(x+(0.72960606543768617459+0.0i)) *
(x+(-0.72960606543768617459+0.0i)) *
(x+(0.0+0.8534135255555705258i)) *
(x+(0.0-0.8534135255555705258i)
Alain

PS. Merci WIMS http://wims.unice.fr/~wims/wims.cgi

Nadesp · April 2018

Excusez moi j'ai fait une petite erreur (au lieu de -0.00332599 c'est 0.00857877)
L'équation c'est plutôt:
0.00857877 (x^4)+0.00168135 (x^2)+ 0.00857877=0 soit (x^4)+0.1959996 (x^2)+1=0

gb · April 2018

Bonjour,

L'équation est bicarrée, on pose $y=x^2$, et on résout :
\[y^2+0.1959996y+1=0.\]

AD · April 2018

Re-bonsoir
Bon, c'est moins joli, parce que le polynôme en $x^2$ n'a pas de racines réelles.
Cependant les quatre racines forment dans le "plan" complexe un carré rectangle centré sur l'origine, aux côtés parallèles aux axes.

x⁴+0.1959996x²+1=
(x+(0.67156541006814816445+0.74094527463234422061i)) *
(x+(0.67156541006814816445-0.74094527463234422061i)) *
(x+(-0.67156541006814816445+0.74094527463234422061i)) *
(x+(-0.67156541006814816445-0.74094527463234422061i))

Alain

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