Continuité de sup

Bonjour à tous,

Je me permets de vous écrire aujourd'hui, ayant quelques difficultés à résoudre une question. L'énoncé est le suivant:

Soit $A$ un ensemble non vide dans R. Pour tout $n \in R$, soit $f_{n} A \mapsto R$ continue. Supposons que pour tout $x\in A$, la suite $f_{1}(x), f_{2}(x),...$ est majorée. On définie la fonction $g : A \mapsto R$ par $g(x)=sup(f_{1}(x), f_{2}(x),....)$

Pour tout $a \in A$ et $\epsilon >0$, prouvez qu'il existe un $\delta>0$ tel que pour tout $x\in A$ avec $\left|x-a\right|<\delta>$, implique $g(x)>g(a)-\epsilon$. Prouvez ensuite que g est continue, ou non.

Mon idée était la suivante. L'énonce nous dit que la suite composée de f est bondée pour tout x. Aussi, la suite est-elle bondée pour x ainsi que pour a. Ensuite je souhaitais prouver que cette suite ne pouvait pas être bondée par des termes distants l'un de l'autre de plus de epsilon, étant donné que la suite est composée respectivement de fonction f continues.

Ainsi, la différence de chacune des fonctions au sein des séquences respectives ne pouvant être distantes de plus de epsilon, pour x et a proches l'un de l'autre de delta, pensais-que nous pouvions aboutir à l'inégalité désirée.

Seulement, je ne sais pas si cette démonstration est juste d'une part et rigoureuse d'autre part. Pour ce qui est de la continuité, j'ai "l'intuition" que g l'est, mais je ne vois pas comment le prouver proprement.

Merci à vous infiniment pour vos retours d'avance