Équivalents et inégalités
Bonjour à tous
On a quatre fonctions $f_1,f_2,h_1,h_2$ de $\mathbb{R}_+^\ast$ dans $\mathbb{R}_+^\ast$ telles que $f_1(x)\sim_0 h_1(x)$ et $f_2(x)\sim_0 h_2(x)$.
On suppose que $h_1(x)<h_2(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $0$. Peut-on en conclure que $f_1(x)\leq f_2(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $0$ ?
Sinon, quel serait un contre exemple, et quelles seraient des hypothèses à ajouter sur les fonction pour avoir l'implication ?
Merci
On a quatre fonctions $f_1,f_2,h_1,h_2$ de $\mathbb{R}_+^\ast$ dans $\mathbb{R}_+^\ast$ telles que $f_1(x)\sim_0 h_1(x)$ et $f_2(x)\sim_0 h_2(x)$.
On suppose que $h_1(x)<h_2(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $0$. Peut-on en conclure que $f_1(x)\leq f_2(x)$ pour tout $x$ dans un voisinage de $0$ ?
Sinon, quel serait un contre exemple, et quelles seraient des hypothèses à ajouter sur les fonction pour avoir l'implication ?
Merci
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Réponses
Les équivalents ne font pas bon ménage avec les sommes habituellement.
$h_2(x) = (1+x) h_1(x)$
$f_1(x) = h_1(x)$
et
$f_2(x) = (1-x) f_1(x)$
Alors ces 4 fonctions sont équivalentes en 0, $h_1(x) < h_2(x)$ mais $f_1(x) \geq f_2(x)$
Et je ne vois pas d'hypothèse générale non triviale qui pourrait te donner ce que tu veux.
$$x^{n+1} \left( f_2^{(n+1)} (x) - f_1^{(n+1)} (x) \right) \geqslant 0$$
alors, d'après les inégalités de Gerber, pour tout $x \in I$
$$f_2(x) - f_1(x) \geqslant T_n^{(2)}(x) - T_n^{(1)} (x)$$
où $T_n^{(i)}$ est le $n$-ème développement de Taylor en $0$ de $f_i$. Par hypothèse, la différence du membre de droite est $\geqslant 0$.