Exercice cpge économique
dans Analyse
Bonjour à tous,
je suis actuellement en train de faire un exercice de révision tiré d'un livre de mathématiques (voie économique).
J'ai réussi à faire à peu près l'ensemble des questions, mais je ne suis pas certaine de mes raisonnements, j'ai l'impression qu'il y a des fautes... Je ne suis pas très douée en série numérique, et deplus, dans le corrigé du manuel l'auteur donne uniquement la réponse correcte sans forcément justifier ses calculs. Ce qui ne m'aide pas non plus...
Vous trouverez l'énoncé de l'exercice 1.2 ainsi que les brouillons de mon travail en pièce-jointe. Pourriez-vous regarder et me dire s'il y a des erreurs ou des choses à améliorer s'il vous plaît ? Par ailleurs, je n'ai pas vraiment réussi à faire/finir la question 1) qui correspond à la dernière question traitée dans mon travail.
Je vous remercie d'avance.
Bonne journée à tous.
je suis actuellement en train de faire un exercice de révision tiré d'un livre de mathématiques (voie économique).
J'ai réussi à faire à peu près l'ensemble des questions, mais je ne suis pas certaine de mes raisonnements, j'ai l'impression qu'il y a des fautes... Je ne suis pas très douée en série numérique, et deplus, dans le corrigé du manuel l'auteur donne uniquement la réponse correcte sans forcément justifier ses calculs. Ce qui ne m'aide pas non plus...
Vous trouverez l'énoncé de l'exercice 1.2 ainsi que les brouillons de mon travail en pièce-jointe. Pourriez-vous regarder et me dire s'il y a des erreurs ou des choses à améliorer s'il vous plaît ? Par ailleurs, je n'ai pas vraiment réussi à faire/finir la question 1) qui correspond à la dernière question traitée dans mon travail.
Je vous remercie d'avance.
Bonne journée à tous.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La première question résolue me semble très claire et juste.
La seconde, j'ai peur de lire n'importe quoi 8-) : je ne vois pas le télescopage apparemment souhaité.
$\ln(k^2-1)-\ln(k^2)$ n'est pas (sauf si je ne vois pas quelque chose) « un terme général qui se télescope » (mal dit, pardon).
Il faut peut-être bricoler le $k^2-1$ pour s'en sortir...
Merci pour votre réponse .
Super pour la première, cela me rassure !
Moi aussi j'ai l'impression que pour la deuxième question, j'ai fait n'importe quoi... Déjà on peut mettre des $n^2 - 1$ dans les bornes comme j'ai fait , s'il vous plaît ? Et la 3ème question (qui correspond à la question 1 de l'énoncé) s'il vous plaît ? Celle là, c'était la plus longue et compliquée pour moi...
Hum..pour le $k^2 -1 $ on peut peut-être utiliser une identité remarquable..?
Souvent ces entiers se suivent, mais pas toujours. Par exemple certaines sommes ont pour indices les nombres pairs, les nombres premiers, etc.
Ici, c'est très maladroit. Et je ne vois pas l'intérêt.
Oui, j'ai pensé à $(k-1)(k+1)$ mais n'ai pas poursuivi...
Je regarde le reste.
Edit : pour la première, le numérateur du terme général vaut $\qquad\ln(n+1)-\ln(n) \qquad$ et ça se simplifie un peu avec le dénominateur en "cassant" le trait de fraction, pour faire apparaître un télescopage.
ça marche bien en utilisant $k^2-1 = (k+1)(k-1)$.
Il suffit d'écrire pour $n\ge 2$, $$\sum_{k=2}^n \ln(k+1) - \ln(k-1) = \ln 2 + \sum_{k=2}^n \ln (k+1)^2 - \ln(n(n+1)).$$
Et on peut télescoper avec la somme $\sum_{k=2}^n \ln k^2$ restante.
merci beaucoup pour votre aide !!
oh mais oui, Dom vous avez raison, on peut simplifier , si je simplifie j'obtiens $ ln(n+1) / ln(n+1)*ln(n)$ ce qui me donne $1/ln(n)$ et ensuite pareils j'ai aussi $1/ln(n+1)$ Ohlala je me suis lancée dans des gros calculs à ne plus en finir, dans lesquels je me suis égarée, alors qu'il y avait plus simple ! C'est l'un de mes plus grand défaut en mathématiques.. Mon professeur de mathématiques que j'ai eu en 6°/5°/4° et 3ème me le disait toujours, "pourquoi faire compliqué quant on peut faire simple" !
Salut J0ke,
parfait, j'ai compris merci pour votre aide ! Donc encore une fois, j'aurais dû pensé à simplifier dès le début .
Bonne soirée à vous !