Différentielle

Non, une fonction n'est pas forcément différentiable.

Quel est le contexte ; le suivant ?

Soient $E,F$ deux evn, et $U \subseteq E$.

Soit $f : U \to F$ une fonction continue.

On dit que $f$ est différentiable en $a \in U$, s'il existe $d_a f : E \to F$ linéaire continue telle que : $\|f(a+h) - f(a)-d_a f (h)\| = o(\|h\|)$.
(déjà $d_a f$ est continue $E \to F$ !!)
Elle est différentiable sur $U$ si elle l'est partout sur $U$.

On dit que $f$ est $C^1$ si l'application (en réalité, c'est une section du fibré trivial $TE^\vee \otimes TF \to U$) "différentielle" $d f: a \mapsto d_a f$ est continue $U \to \mathcal{L}(E,F)$ (c'est ici qu'intervient le fait que $d_a f$ doit être continue, car $\mathcal{L}(E,F)$ est aussi un evn !)

L'application : $
\begin{array}[t]{|@{\quad}r@{}c@{}l}
\ \mathcal{M}_{n,p}(\R) & {}\to{} & \mathcal L(\R^p,\R^n) \\
A & {}\mapsto{} & \big(\vec h \mapsto A \cdot \vec h\big) \\
\end{array}
$
est un homéomorphisme linéaire. (un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.)

Soit $U$ un ouvert de $\R^n$ et soit une application $f:U\to \mathcal{L}(\R^n,\R^m)$. Fixons des bases de $E=\R^n$ et $F=\R^m$ et notons $A=(a_{ij})_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n}$ la matrice de $f$ : les $mn$ coefficients $a_{ij}$ sont donc des fonctions de $U$ dans $\R$. Alors $f$ est continue si et seulement si chaque fonction $a_{ij}$ est continue.

Edit : comme dit par marsup, je me suis mélangé les pinceaux dans la première version.

Cette question n'est pas idiote, surtout vu les raccourcis de langage si fréquents.

Non, la différentielle de $x\mapsto x^2$ n'est pas $2x$ (qui est un nombre) ni même $x\mapsto 2x$ (tu ne l'as pas écrit mais j'en profite pour enfoncer le clou).
La différentielle de cette fonction en un réel $x_0$ donné est $2x_0\,dx$ une fois qu'on a compris que $dx : \mathbb R\to \mathbb R$ est l'application linéaire $h\mapsto h$ (donc $2x_0\,dx$ est l'application linéaire $h\mapsto 2x_0h$).
Et enfin la différentielle de $x\mapsto x^2$ est l'application $\mathbb R\to \mathcal L(\mathbb R,\mathbb R)$ définie par $x_0\mapsto 2x_0\,dx$.

NB : pour des fonctions de plusieurs variables $\mathbb R^n\to\mathbb R$, on peut définir $dx_1,\dots,dx_n$ comme étant les applications linéaires coordonnées telles que $\forall h=(h_1,\dots,h_n)\in\mathbb R^n$, $dx_i(h)=h_i$.

Essaie, dans un premier temps de ne pas t'amuser à mélanger "les deux $x$" :
- celui du point où on différentie, ou $x_0$ chez paf
- celui qui décrit la variable de la "forme linéaire" différentielle : $h$ chez toi et moi, puis $x_1,\dots,x_n$ en $n$ variables, comme dit paf.

Tout sera beaucoup plus clair, et ensuite, seulement, tu pourras voir en quoi il est très amusant de réinjecter la confusion entre les deux !