Quarrable
dans Analyse
Salut je me pose la question suivante (même si elle peut vous sembler idiote). Pourquoi à chaque fois qu'on veut intégrer une fonction à plusieurs variables, on l’intègre dans une partie quarrable ?
Ci-joint une partie de mon cours.
Est-ce que c'est le fait qu'elle soit quarrable qui nous assure l'existence de sous-parties quarrables à intérieurs disjoints ?
Merci infiniment.
Ci-joint une partie de mon cours.
Est-ce que c'est le fait qu'elle soit quarrable qui nous assure l'existence de sous-parties quarrables à intérieurs disjoints ?
Merci infiniment.
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Réponses
Quand on définie une intégrale on veut en général qu'elle satisfasse certaines propriétés, une de ces propriétés fondamentale est que l'intégrale doit représenter "fidèlement" la notion intuitive d'aire, de volume etc. Par exemple quand on définit l'intégrale de Riemann sur un intervalle compact on cherche à définir mathématiquement et rigoureusement la notion d'aire sous la courbe. Pour ces raisons on veut que l'intégrale de fonctions simples corresponde bien avec la notion d'aire que l'on a déjà en géométrie pour certaines figures. On est donc content lorsque l'on retrouve par exemple
$$\int_0^1 1 \mathrm d x =1, \;\;\; \int_0^1 x \mathrm d x=1/2, \;\;\; \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm dx = \pi/2$$
qui correspondent bien à l'aire du carré, du triangle rectangle et du demi disque sous la courbe. Bref tout ça pour dire que quand on construit une intégrale et qu'on intègre la fonction constante égale à $1$ sur une partie $A$ on s'attend à retrouver la longueur de $A$ si $A\subset \mathbf R$, l'aire de $A$ si $A\in \mathbf R^2$, son volume pour $A\subset \mathbf R^3$ etc...
Ici on devrait donc avoir $\int_A 1 \mathrm dx = \mathrm{Aire}(A)$ sauf que si $A$ n'est pas quarrable son aire n'est justement pas définie.
Certes on est en dimension 2.
Je me demande si le fait que A quarrable ça nous assure l’existence d'une famille de compacts quarrables dont l'intersection vide et l'union égale à A, qu'on a utilisé pour définir les Sommes de Darboux.
Pour ta deuxième question : Si $A$ est quarrable et si $P$ est un pavé (dont les côtés sont parallèles aux axes) alors $A\cap P$ est quarrable.
@Dom oui effectivement une partie A de $\R^2$ est quarrable si $1_A$ est intégrable au sens de Riemann
@mojojo Tu sembles dire que si A est n'est pas quarrable alors la notion d'aire ne peut pas avoir de sens !?
Moi j'ai envie de dire si S est integrable au sens de Lebesgue dans $\R^2$ alors son aire est exactement sa mesure de Lebesgue dans $\R^2$ ( on a des exemples de domaines non quarrables et mesurables au sens de Lebesgue)