Dérivée n-ième transformée de Laplace

merci gerard0

je suis votre conseil ceci donne L(u) dérivée (n+1)fois=(L(u) dérivée n fois)'=((-1)^nL(un))'=(-1)^(n+1) L(t^n u(t))'=?
je bloque car je sens qu'il y aurait peut-être de la dérivation des fonctions composées ou quelque chose comme ça mais la variable de dérivation ici est x et non t
Du coup je ne vois pas comment me débarrasser du t^n

AH non c'est bon j'ai trouvé un appartient à E donc on utilise la d en l'appliquant à un

est-ce bon?
L(u) dérivée (n+1) fois
=(L(u) dérivée n fois)' par définition de la dérivée (n+1)ème
=(-1)^n L(u(n)))' par hypothèse de récurrence et linéarité de la dérivation
Or un appartient à E donc d'après la question (d) L(u(n))'=-L(tu(n)(t)==-L(u(n+1)) (en gros l'idée quand on dérivé L(v) avec v dans E c'est de multiplier par la variable d'intégration la fonction v sous l'intégrale et de multiplier par -1 or ici quand on multiplie par t on a t^(n+1)u(t)=u(n+1)(t) par définition des u(n)
D'où L(u) dérivée (n+1) fois=(-1)^(n+1) L(u(n+1))