Opérateur coercif
Bonjour,
Je souhaiterais montrer proprement le caractère elliptique/coercive de la forme bilinéaire $a$ afin d'appliquer le théorème de Lax-Milgram :
$\forall u \in H^{1}(\omega), a(u,u) \geq C ||u||_{H^{1}(\omega)}^2]$ où $C \geq 0$
$H^{1}(\omega)$ est l'espace considéré ici.
$a(u,v) = \int_{\omega}{\nabla{u}\nabla{v}} + (\int_{\omega}{u}) (\int_{\omega}{v})$
Comment minorer alors $a(u,u) = \int_{\omega}{\nabla{u}^2} + (\int_{\omega}{u})^2$ par $||u||_{H^{1}(\omega)}^2 = \int_{\omega}{|\nabla{u}|^2} + \int_{\omega}{|u|^2}$
Merci d'avance!
Je souhaiterais montrer proprement le caractère elliptique/coercive de la forme bilinéaire $a$ afin d'appliquer le théorème de Lax-Milgram :
$\forall u \in H^{1}(\omega), a(u,u) \geq C ||u||_{H^{1}(\omega)}^2]$ où $C \geq 0$
$H^{1}(\omega)$ est l'espace considéré ici.
$a(u,v) = \int_{\omega}{\nabla{u}\nabla{v}} + (\int_{\omega}{u}) (\int_{\omega}{v})$
Comment minorer alors $a(u,u) = \int_{\omega}{\nabla{u}^2} + (\int_{\omega}{u})^2$ par $||u||_{H^{1}(\omega)}^2 = \int_{\omega}{|\nabla{u}|^2} + \int_{\omega}{|u|^2}$
Merci d'avance!
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Réponses
Parce que pour $\omega = \mathbb{R}$, c'est faux.
Prendre $u_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $$
u_n(x) = \begin{cases}
-x-n-1,&\text{sur }[-(n+1), -n] \\
-1,&\text{sur }[-n,-1] \\
x,&\text{sur }[-1,1] \\
1,&\text{sur }[1,n] \\
-x+n+1,&\text{sur }[n,n+1]\\
0,&\text{ailleurs}.
\end{cases} $$ $a(u_n,u_n)$ est constant ($u_n$ est impaire, donc $a(u_n,u_n) = \|\nabla\|_2^2$ ), alors que $\|u_n\|_{H_1(\mathbb{R})}$ tend vers $+ \infty$
$\| u \|_2 = \| u- u_\omega + u_\omega \|_2 \leq \| u- u_\omega \|_2 + \|u_\omega \|_2$
Où $u_\omega = \frac{1}{|\omega|} \int_\omega u(y) dy$
Et alors, par Poincarré-Wirtinger
$\| u- u_\omega \|_2 + \|u_\omega \|_2 \leq C \|\nabla u \|_2 + \|u_\omega \|_2$
D'où,
$C \|\nabla u \|_2 + \|u_\omega \|_2 = C_1 \int_\omega |\nabla u|^2 + C_2 \left( \int_\omega u \right)^2 \leq (C_1+C_2) a(u,u)$
Edit : y'a des carrés et des racines qui manquent, mais je dois aller faire autre chose. M'enfin, l'idée est là
Mais montrer ton résultat à partir de $\|u\|_2 \leq C\|\nabla u\|_2 + \|u_\omega\|_2 $ n'est pas trop difficile (rappel, $u_\omega$ est une constante) :
$a(u,u) = \|\nabla u\|_2^2 + \|u_\omega \|_2^2 \geq \frac{1}{2} \left( \|\nabla u \|_2 + \| u_\omega \|_2 \right)^2 \geq C' \|u \|_2^2$
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
Il serait intéressant que tu rédiges ton raisonnement.