Fonctions harmoniques réelles - dérivées
Bonjour à tous.
Je galère sur un problème d'estimation.
J'ai une fonction harmonique sur $ \Omega $ borné régulier de $ \R^n $. J'ai dons la propriété de la moyenne et le principe du maximum.
Je veux montrer que je peux estimer les dérivées, et je veux le faire explicitement pour la première dérivée.
J'ai donc montré, avec une formule de Green et la formule de la moyenne, que $$ \vert \partial_i u(x) \vert \leq \frac{2n}{r} \Vert u \Vert_{L^{\infty}(\partial B(x,R/2)} $$ avec $\partial B$ le bord de $B$.
Et je veux maintenant montrer que $$ \vert \partial_i u(x) \vert \leq \frac{n2^{n+1}}{r^{n+1} Vol(B_n)} \Vert u \Vert_{L^1 (B(x,r))}
$$ ou encore que $$ \Vert u \Vert_{L^{\infty}(\partial B(x,r/2)} \leq \frac{2^{n}}{r^n Vol(B_n)} \Vert u \Vert_{L^1 (B(x,r))}
$$ Je vous saurais gré de toute aide ! Merci d'avance !
Je galère sur un problème d'estimation.
J'ai une fonction harmonique sur $ \Omega $ borné régulier de $ \R^n $. J'ai dons la propriété de la moyenne et le principe du maximum.
Je veux montrer que je peux estimer les dérivées, et je veux le faire explicitement pour la première dérivée.
J'ai donc montré, avec une formule de Green et la formule de la moyenne, que $$ \vert \partial_i u(x) \vert \leq \frac{2n}{r} \Vert u \Vert_{L^{\infty}(\partial B(x,R/2)} $$ avec $\partial B$ le bord de $B$.
Et je veux maintenant montrer que $$ \vert \partial_i u(x) \vert \leq \frac{n2^{n+1}}{r^{n+1} Vol(B_n)} \Vert u \Vert_{L^1 (B(x,r))}
$$ ou encore que $$ \Vert u \Vert_{L^{\infty}(\partial B(x,r/2)} \leq \frac{2^{n}}{r^n Vol(B_n)} \Vert u \Vert_{L^1 (B(x,r))}
$$ Je vous saurais gré de toute aide ! Merci d'avance !
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Réponses
Essaie déjà de le faire sur $\mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}^{2}.$)