Valeur d'adhérence

Si la vie est bien faite, les projections $\pi_k:\prod_{i=1}^pE_i\to E_k$, $(y^i)_{1\le i\le p}\mapsto y^k$ sont continues.

Pour la réciproque, pas besoin d'aller chercher loin : $p=2$, $E_1=E_2=\R$. Si tu sais extraire une sous-suite $(x^1_{\phi(n)})_{n\in\N}$ qui tend vers $1$ et une sous-suite $(x^2_{\psi(n)})_{n\in\N}$ qui tend vers $-1$, est-ce que tu sauras toujours trouver une sous-suite $\bigl((x^1_{\theta(n)},x^2_{\theta(n)})\bigr)_{n\in\N}$ qui tend vers $(1,-1)$ ? Pas forcément, s'il n'y a pas (assez) d'entiers de la forme $\phi(n)$ et $\psi(n)$.

S'il te permet de conclure !

Pourquoi demander si tu peux utiliser un théorème ? En maths on a le droit d'utiliser toutes les règles, théorèmes, définitions, etc. On a le droit de faire des maths. Et on regarde si ça sert ou pas. Si tu peux faire une preuve avec ce théorème, rédige-la.

NB : C'est un bon moyen.