Valeur d'adhérence
Bonjour,
S'il vous plait comment montrer que si $a=(a^1,\ldots,a^p)$ est une valeur d'adhérence d'une suite $(x_n)$ dans l'espace produit $ E=\displaystyle\prod_{i=1}^p E_i$ alors chaque $a^i$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x^i_n)$ ?
Comment montrer que l'inverse n'est pas juste ?
Merci
S'il vous plait comment montrer que si $a=(a^1,\ldots,a^p)$ est une valeur d'adhérence d'une suite $(x_n)$ dans l'espace produit $ E=\displaystyle\prod_{i=1}^p E_i$ alors chaque $a^i$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x^i_n)$ ?
Comment montrer que l'inverse n'est pas juste ?
Merci
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Réponses
Pour la première question, il suffit de traduire la définition de valeur d'adhérence dans le cas d'un espace produit.
Pour la deuxième, une idée est que dans la suite $x$, pour tout n il y ait toujours un des $x^i_n$ loin du $a^i$ correspondant : il n'y aura pas de limite.
Cordialement.
Pour la réciproque, pas besoin d'aller chercher loin : $p=2$, $E_1=E_2=\R$. Si tu sais extraire une sous-suite $(x^1_{\phi(n)})_{n\in\N}$ qui tend vers $1$ et une sous-suite $(x^2_{\psi(n)})_{n\in\N}$ qui tend vers $-1$, est-ce que tu sauras toujours trouver une sous-suite $\bigl((x^1_{\theta(n)},x^2_{\theta(n)})\bigr)_{n\in\N}$ qui tend vers $(1,-1)$ ? Pas forcément, s'il n'y a pas (assez) d'entiers de la forme $\phi(n)$ et $\psi(n)$.
Pour la première implication est-ce que j'utilise le théorème qui dit : une suite d'un espace produit converge vers une limite si et seulement si chaque composante de la suite converge vers la composante correspondante de la limite ?
Merci.
Pourquoi demander si tu peux utiliser un théorème ? En maths on a le droit d'utiliser toutes les règles, théorèmes, définitions, etc. On a le droit de faire des maths. Et on regarde si ça sert ou pas. Si tu peux faire une preuve avec ce théorème, rédige-la.
NB : C'est un bon moyen.