Existence de constantes
Bonjour
Existe-t-il $a,b,c$ des réels non nuls , k entier impair différent de 3
tels que pour tout $x$ réel on ait $$\sin^{k}(x)=a\sin^{3}(x)+b\sin^{3}(3x)+c\sin^{3}(9x).$$
Je cherche des formules analogue à
$$\sin^{4}(x)=\sin^{2}(x)-\frac{1}{4}\sin^{2}(2x)$$ avec des exposants autres que 4 et 2
Merci.
Existe-t-il $a,b,c$ des réels non nuls , k entier impair différent de 3
tels que pour tout $x$ réel on ait $$\sin^{k}(x)=a\sin^{3}(x)+b\sin^{3}(3x)+c\sin^{3}(9x).$$
Je cherche des formules analogue à
$$\sin^{4}(x)=\sin^{2}(x)-\frac{1}{4}\sin^{2}(2x)$$ avec des exposants autres que 4 et 2
Merci.
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Réponses
1&=\ a-b+c\\
\big(\frac{\sqrt 3}2\big)^6&=\ a\big(\frac{\sqrt 3}2\big)^3 \\
\frac 1{2^6}&=\ a\frac 1{2^3}+b-c,
\end{cases}
$$ système qui n'admet pas de solution.
Alain
En fait j'aurais besoin d'un résultat du genre
Existe-t-il $k$ entier impair diffrent de 3
$a,b,c$ des réels non nuls tels que pour tout $x$ réel $$
\sin^{k}(x)=a\sin^{3}(x)+b\sin^{3}(3x)+c\sin^{3}(9x).$$ Merci.
Si tu appliques ma méthode, le système n'aura pas de solution quelque soit $k$.
Alain
$$\sin^{4}(x)=\sin^{2}(x)-\frac{1}{4}\sin^{2}(2x)$$
ce qui explique ma question de mon premier post.
Par linéarisation, on établit facilement que \(\sin^2x\), \(\sin^2(2x)\), \(\sin^4x\) appartiennent à \(\mathrm{Vect}(1,\cos(2x),\cos(4x))\) qui est de dimension 3 ; le fait que ces fonctions soient linéairement dépendantes n'est déjà pas anodin.
Toujours par linéarisation, on établit que \(\sin^3x\), \(\sin^3(3x)\), \(\sin^3(9x)\) appartiennent à \(\mathrm{Vect}(\sin x,\sin(3x),\sin(9x),\sin(27x))\), mais que \(\sin^kx\) n'appartient pas à cet espace pour \(k\) entier impair autre que \(3\).