Série

ines1
ines1
dans Analyse
Bonjour,
je lis que la somme partielle de la série $$
\sum_{n=0}^{+\infty} (y_{n+1}(x) - y_n(x))
$$ est donnée par $$
y_n(x)= y_0(x)+ \sum_{m=0}^{n-1} (y_{m+1}(x) -y_m(x))
$$ Je ne comprends pas comment on arrive à cette formule de la somme partielle.
Merci par avance.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Regarde la somme partielle avec 2 termes, puis avec 3 termes.

    Cordialement.
  • ev
    ev
    Bonjour Ines.

    ça s'appelle du télescopage. Tu peux le démontrer par récurrence ou en écrivant ta somme en extension (avec des \ldots) et en remarquant que les termes se simplifient deux à deux sauf les deux mistigris aux deux bouts qui ne trouvent pas de partenaires.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    Cela dit pour $n=0$ il faut une bonne convention...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Dom, ça te chagrine qu'une somme indexée par l'ensemble vide soit nulle ?
  • ev
    ev
    @ Dom

    À cette heure-ci GBZM est censé faire sa sieste.
    Tu ne dois pas le réveiller avec ça.

    Merci,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ev
    ev
    Et voilà, ça n'a pas raté !

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    @GaBuZoMeu
    Non, pas du tout.
    Je parle de convention, mais quel qu'en soit le terme, quant un étudiant ou lycéen est aux prémices de ces choses là, ce n'est jamais bien évident.

    Oui, @ev, j'ai pensé la même chose.
  • ines1
    ines1
    Je trouve qu'il y a quelque le chose qui ne va pas. La somme partielle de $\sum_{n=0}^{+\infty} (y_{n+1}(x)-y_n(x))$ s'écrit
    $$
    \sum_{m=0}^n (y_{m+1}(x)-y_m(x))= y_1(x) - y_0(x) + y_2(x)-y_1(x) + \ldots +y_n(x)-y_{n-1}(x) + y_{n+1}(x)-y_n(x)
    $$
    en simplifiant ça donne
    $$
    \sum_{m=0}^n (y_{m+1}(x) - y_m(x)) = y_{n+1}(x) - y_0(x)
    $$
    Ce n'est pas la formule initiale. Où est le problème?
  • Dom
    Dom
    La borne supérieure dans ton message initiale est $n-1$, non ?
    (Alors que là tu es allée de $0$ jusqu'à $n$)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il faut vérifier ta vision. La borne supérieure de la sommation dans ton message initial est $n-1$, pas $n$.
  • ines1
    ines1
    C'est compris! Merci à tous :-)
  • zorg69
    zorg69
    Revenons à la définition d'une série (disons réelle à termes positifs pour simplifier). C'est la suite de ses sommes partielles. Le téléscopage (dont parlait Ev) s'applique justement à ces sommes partielles. Et d'ailleurs ton expression de base est (si elle existe, en se plaçant dans R+) la somme d'une série, et non la série elle-même.....Ceci est un peu touffu ce que je dis certes, mais bon.....
  • aléa
    aléa
    La phrase est quand même bizarre, car la somme partielle est $y_n(x)-y_0(x)$, pas $y_n(x)$.
  • ines1
    ines1
    Je lis que la suite $\epsilon_n= \dfrac{(K \alpha)^{n+1}}{(n+1)!}$ converge vers 0 ($K, \alpha > 0$). Pourquoi cette suite converge vers 0?
  • ev
    ev
    Parce qu'à partir d'un certain rang $ \dfrac{\varepsilon_{n+1}}{\varepsilon_{n}} < \dfrac12$.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ines1
    ines1
    ev je ne comprends pas ce que vous utilisez comme méthode.
    On cherche $\lim\limits_{n \to +\infty} \epsilon_n$ et pour ça si on trouve $\dfrac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n} < \dfrac{1}{2}$ alors on conclut que $\lim\limits_{n \to +\infty} \epsilon_n=0$. C'est quel critère ?
  • ev
    ev
    Comparaison avec une suite géométrique de raison \( \dfrac12 \). Un petit effort.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Chalk
    Chalk
    Surtout quand on est en master ...
  • ev
    ev
    Ah quand même.

    Bon, j'ai pas de master, je ne peux pas suivre.
    Continuez sans moi.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ines1
    ines1
    Merci ev, c'est compris.
    ps: je n'ai pas de master!
  • Chalk
    Chalk
    Je n'ai pas dit que tu avais un master (ce serait même inquiétant qu'on puisse avoir un master en maths en posant ce genre de questions). Mais quand on étudie les espaces de Sobolev on est censé pouvoir répondre à une question simple de Terminale, voire de Première. Quand bien même on ne saurait pas y répondre, on est censé connaître les basiques des comparaisons asymptotiques vues en L1.
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