Hypothèses de domination nécessaires ?

dido
dido
dans Analyse
Bonjour
Je suis en train de regarder un exercice où il faut montrer que $\displaystyle x \mapsto \int _{0}^{\pi/2} \arctan(x\cos t)dt$
est définie, continue, de classe $C^1$ sur $\mathbb R$
Dans la correction, ils utilisent des hypothèses de domination, mais est-ce vraiment nécessaire puisqu'on intègre sur un intervalle ?
Merci.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Je ne sais pas si c'est vraiment nécessaire, et au fond rien n'est nécessaire (à part certains axiomes) quitte à redémontrer ce dont on a besoin, mais la continuité permet justement d'avoir la domination locale (par une constante).
  • dido
    dido
    On a donc pas besoin de trouver une fonction $g(t)$ dominante pour montrer la continuité et la dérivabilité n'est-ce-pas ?
  • Chalk
    Chalk
    Bah ça dépend, tu as un théorème qui permet de faire sans ? Moi non, j'utilise celui avec la domination de la dérivée uniformément en $x$.
  • zorg69
    zorg69
    Théorème de continuité puis de dérivation sous le signe intégral, puis rebelote avec la dérivée pour montrer la continuité.
  • Chalk
    Chalk
    De quels théorèmes tu parles zorg ? Ceux que je connais ont une hypothèse de domination, ou alors sont des cas très particuliers des théorèmes avec hypothèses de domination.

    De plus le théorème de dérivation des intégrales paramétriques ne nécessite pas de prouver la continuité avant.
  • zorg69
    zorg69
    je parle des théorèmes de continuité sous le signe somme lorsqu'on se place sur un intervalle compact du genre 0,pi/2 comme précisé dans l'énoncé.Ceci dit, il y a une hypothèse de domination en effet pour conclure. (c'est enseigné ça encore en sup-spé, ou ils l'ont enlevé?)

    ed: J'ai vérifié, ça y est toujours.....Une fois de plus( de trop!!!) j'ai été trop speed!!!!(Va falloir sérieusement que je ralentisse la gnôle)
  • dido
    dido
    On a celui là :
    $f:E \times [a,b] \rightarrow F$ où $(E,d)$ est un espace métrique et $F$ un espace de Banach
    Si $f : E \times [a,b] \rightarrow F$ est continue, alors nous pouvons définir l'application $\Phi : E \rightarrow F$ par : $\forall x \in I, \Phi(x)=\int _{a}^{b} f(x,t)dt $, et cette application est continue


    et celui là :
    Si $f : I \times [a,b] \rightarrow F$ est continue, telle que la dérivée partielle $f'_x$ existe et soit continue sur $ I \times [a,b]$, alors l'application $\Phi : I \rightarrow F$ définie par :$\forall x \in I, \Phi(x)=\int _{a}^{b} f(x,t)dt $ est de classe $C^1$ et nous avons l'égalité : $\forall x \in I, \Phi'(x)=\int _{a}^{b} f'_x(x,t)dt $
  • Chalk
    Chalk
    Bah si tu as ces théorèmes où est le problème ? Tu ne fais pas confiance à ton cours ?

    Comme je disais, la continuité permet d'avoir la domination locale, je ne sais pas si on peut démontrer ces théorèmes directement, je n'y ai pas réfléchi.
  • dido
    dido
    En fait je prépare l'agreg interne et le livre dont je parle est un livre de MP, ils n'ont peut-être pas ces deux théorèmes en prépa et ça serait la raison pour laquelle ils passent par les mêmes théorèmes que ceux pour les intégrales généralisées ?
  • dido
    dido
    C'est la correction dans mon livre qui m'a mis le doute. Je doute beaucoup .....
  • Chalk
    Chalk
    Ils n'ont pas besoin de tes théorèmes, puisque comme je l'ai déjà dit c'est un cas très particulier des théorèmes avec hypothèses de domination.

    Edit : Je vais l'énoncer plus clairement. Tes théorèmes ne sont pas inutiles, mais ne sont que des corollaires très simples à démontrer des théorèmes avec hypothèses de domination.
  • dido
    dido
    Ok, j'ai compris je pense. Merci :-)
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