Optimisation sous contraintes linéaires
dans Analyse
Bonjour j'espère que vous allez bien.
Je voudrais savoir comment je peux maximiser cette fonction, j'ai essayé d'utiliser le lagrangien, mais je n'ai pas eu un résultat !
Est-ce que quelqu'un peut m'aider. Merci à l'avance.
max : f(x1,x2,...,xp) = x²1+x²2+...+x²p
sc : g(x1,x2,...,xp): x1+x2+...+xp-n=0
xi>=0, i=1,...,p
Je voudrais savoir comment je peux maximiser cette fonction, j'ai essayé d'utiliser le lagrangien, mais je n'ai pas eu un résultat !
Est-ce que quelqu'un peut m'aider. Merci à l'avance.
max : f(x1,x2,...,xp) = x²1+x²2+...+x²p
sc : g(x1,x2,...,xp): x1+x2+...+xp-n=0
xi>=0, i=1,...,p
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Réponses
Je voudrais savoir comment je peux maximiser cette fonction, j'ai essayé d'utiliser le lagrangien, mais je n'ai pas eu un résultat !
Est-ce que quelqu'un peut m'aider. Merci à l'avance.
max : f(x1,x2,...,xp) = x²1+x²2+...+x²p
sc : g(x1,x2,...,xp): x1+x2+...+xp-n=0
xi>=0, i=1,...,p
[Inutile d'ouvrir une nouvelle discussion avec le même problème. AD]
\begin{align*}
\text{maximiser : }&f(x_1,x_2,\dots,x_p) = x_1^2+x_1^2+\cdots+x_p^2\\
\text{sous contraintes : }&\begin{cases}
g(x_1,x_2,\dots,x_p)=x_1+x_2+\cdots+x_p-n=0\\
x_i\ge0\quad \forall i\in\{1,\dots,p\}\end{cases}\end{align*}
Pourtant, on a ici une seule contrainte définie par une égalité donc ça fait un seul coefficient $\let\l=\lambda\l$. On introduit la fonction
\[L(x_1,\dots,x_p,\l)=x_1^2+\cdots+x_p^2+\l(x_1+\cdots+x_p-n),\]pour laquelle on cherche un minimum absolu (ça tombe bien, elle a l'air convexe !). Il n'y a qu'à écrire le système de $p+1$ équations $\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$ ($1\le i\le p$) et $\frac{\partial L}{\partial\l}=0$ et à le résoudre.
Pour une autre approche, on peut aussi utiliser la (stricte) convexité de $h:\R\to\R$, $x\mapsto x^2$ en comparant le barycentre des $h(x_i)$ et l'image du barycentre des $x_i$.
Edit : Tiens, c'est curieux de chercher le min après avoir écrit qu'on cherchait le max.
Mais pour le max je n'ai pas pu le trouver.
$$x_1^2+\cdots+x_p^2\leq x_1^2+\cdots+x_p^2+2\sum_{1\leq i<j\leq p}x_ix_j=(x_1+\cdots+x_p)^2=n^2.$$ et c'est atteint si et seulement si il existe $i$ tel que $x_i=n.$
$$x_1^2+\cdots+x_p^2=2ab-pa^2+\sum_{i=1}^p(x_i-a)^2\leq 2ab-pa^2+\left[\sum_{i=1}^p(x_i-a)\right]^2=(b-a(p-1))^2+a^2(p-1).$$ Le maximum est atteint si il existe un $i$ tel que $x_i=b-a(p-1).$
comment vous avez obtenu xi = b-a(p-1) a partir de: (b-a(p-1))2+a2(p-1) ,....merci
$$\left[(x_1-a)+\ldots+(x_p-a)\right]^2-\left[(x_1-a)^2+\ldots+(x_p-a)^2\right]=2\sum_{1\leq i<j\leq p}(x_i-a)(x_j-a)\geq 0.$$