Valeur approximative d'une intégrale
Bonsoir, je cherche à calculer des formules approximatives de l'intégrale suivante : $$
I= \int_0^1 \dfrac{1}{R^{2}-x^{2}} \exp \Big(-\frac{a}{\sqrt{1-x^{2}}}\Big)\ dx
$$ dans les limites : $\ a \ll 1 \ ; \ a \gg 1 \ \text{et} \ a \longrightarrow \infty$, où $a>0$ et $R$ réel positif.
Seulement j'ai trouvé dans une publication que dans la limite $a \ll 1$, les contributions dominantes au calcul de l'intégrale $ \, I \, $ résultent des valeurs $x\leqslant \sqrt{1-a^{2}}$.
Comment ça ? En tant qu'étudiant je ne vois pas comment cela est possible.
ensuite ils rajoutent :
Alors, ce que je n'ai pas compris, pourquoi l'intégration jusqu'à $\sqrt{1-a^{2}}$ et pourquoi introduire la valeur principale de Cauchy pour la calculer ?
Si vous avez des suggestions.
Merci d'avance
I= \int_0^1 \dfrac{1}{R^{2}-x^{2}} \exp \Big(-\frac{a}{\sqrt{1-x^{2}}}\Big)\ dx
$$ dans les limites : $\ a \ll 1 \ ; \ a \gg 1 \ \text{et} \ a \longrightarrow \infty$, où $a>0$ et $R$ réel positif.
Seulement j'ai trouvé dans une publication que dans la limite $a \ll 1$, les contributions dominantes au calcul de l'intégrale $ \, I \, $ résultent des valeurs $x\leqslant \sqrt{1-a^{2}}$.
Comment ça ? En tant qu'étudiant je ne vois pas comment cela est possible.
ensuite ils rajoutent :
comme s'ils ont calculé $ \ I \ $ dans la limite $a \ll 1$ entre $0$ et $\sqrt{1-a^{2}}$et par conséquent, nous pouvons approximer la fonction exponentielle existante par un. Et en utilisant la valeur principale de Cauchy, on trouve immédiatement pour l'approximation $ R ^ {2} <1 $ : $$
I \simeq \dfrac{1}{R} \ \textrm{argcoth} \left(\dfrac{\sqrt{1-a ^{2}}}{R} \right) $$
Alors, ce que je n'ai pas compris, pourquoi l'intégration jusqu'à $\sqrt{1-a^{2}}$ et pourquoi introduire la valeur principale de Cauchy pour la calculer ?
Si vous avez des suggestions.
Merci d'avance
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Réponses
Au passage j'espère que $R > 1$, sinon on a quelques problèmes...
On doit intégrer $\int_{0}^{\alpha} \frac{dx}{R^2-x^2}$, qui est divergente, avec $\alpha=\sqrt{1-a^2}$.
Mais en valeur principale :
$$
\DeclareMathOperator{\argcoth}{ArgCoTh}
\begin{align*}
\int_{0}^{\alpha} \frac{dx}{R^2-x^2}
& = \frac{1}{2R} \cdot
\Bigg[
\int_{0}^{\alpha} \frac{dx}{R-x}
+
\int_{0}^{\alpha} \frac{dx}{R+x}
\Bigg] \\
& = \frac{1}{2R} \cdot
\Bigg[
\int_{0}^{2R-\alpha} \frac{dx}{R-x}
+
\int_{0}^{\alpha} \frac{dx}{R+x}
\Bigg] \\
& = \frac{1}{2R} \cdot
\Bigg[
-\ln(R-(2R-\alpha))
+
\ln(R+\alpha)
\Bigg] \\
& = \frac{1}{R}\cdot\argcoth\Big(\frac{\alpha}{R}\Big) \\
\end{align*}
$$
je vous remercie pour les détails.
SVP, je voulais connaître maintenant la valeur de cette intégrale dans la limite $ a\gg 1 $
Une suggéstion?
Merci