La norme infinie d'une fonction

srih
srih
dans Analyse
Bonjour
je cherche la norme infinie de la fonction suivante:
f(x,y)= g(x)*h(y) telles que
g est une fonction définie sur R^n
et h est une fonction définie sur R

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Le domaine de définition importe peu : $\Vert f\Vert_\infty = \Vert g \Vert_\infty \Vert h\Vert_\infty$.
  • srih
    srih
    Mais les deux fonctions g et h n’ont pas le même argument
  • Poirot
    Poirot
    Il serait plus raisonnable de supposer ces fonctions bornées par exemple avant de se poser ce genre de question. Au passage l'égalité de skyffer3 est vraie en général mais peut ne pas avoir de sens, par exemple lorsque $g$ est identiquement nulle et $h$ non bornée.
  • Chalk
    Chalk
    J'ai supposé implicitement qu'on était sur des espaces de fonctions bornées, pour qu'on ait bien une norme.
    srih a écrit:
    Mais les deux fonctions g et h n’ont pas le même argument
    Bah justement, si ça avait été le même argument ça aurait été faux. As-tu essayé de démontrer ce que j'ai écrit ?
  • srih
    srih
    Bonjour
    Oui , j'ai essayé de montrer mais je ne sais pas si c'est juste
    je suppose que h et g sont des fonctions bornées
  • srih
    srih
    $ g: \mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R} $
    ET
    $ h: \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R} $

    $\Vert f \Vert_\infty= \sup _{(x,y)}\vert f(x,y)\vert = \sup _{(x,y)} \vert g(x).h(y)\vert$
    donc
    $\Vert f \Vert_\infty= \sup _{(x,y)} \vert g(x)\vert.\vert h(y)\vert$
    $\Vert f \Vert_\infty \leq \sup _{(x)}\vert g(x)\vert.\sup _{(y)}\vert h(x)\vert$
    $\Vert f \Vert_\infty \leq \Vert g \Vert_\infty.\Vert h \Vert_\infty$
  • Chalk
    Chalk
    Quel théorème as-tu utilisé pour passer de la dernière égalité à la première inégalité ? On dirait que tu noies le poisson sous des trivialités et arrivé au moment crucial ça semble sortir de nulle part.
  • Poirot
    Poirot
    Pour établir l'autre inégalité, il suffit d'utiliser la définition de la borne supérieure.

    Soit $\varepsilon > 0$. Alors il existe $x \in \mathbb R^n$ et $y \in \mathbb R$ tels que $|g(x)| \geq ||g||_{\infty} - \varepsilon$ et $|h(y)| \geq ||h||_{\infty} - \varepsilon$. Alors $|f(x,y)| \geq ||g||_{\infty} ||h||_{\infty} - \varepsilon(||g||_{\infty} + ||h||_{\infty}) + \varepsilon ^2 \geq ||g||_{\infty} ||h||_{\infty} - \varepsilon(||g||_{\infty} + ||h||_{\infty})$ et donc $|f||_{\infty} \geq ||g||_{\infty} ||h||_{\infty} - \varepsilon(||g||_{\infty} + ||h||_{\infty})$.
  • srih
    srih
    Moi je veux juste montrer que
    $\Vert f \Vert_\infty \leq \Vert g \Vert_\infty.\Vert h \Vert_\infty$
    svp, est ce que c'est juste ma démonstration ou non
  • Chalk
    Chalk
    C'est bien ce que je pensais. Si tu poses la question c'est que ta démonstration n'en est de toute façon pas une, vu que le but d'une démonstration c'est déjà de se convaincre soi-même (avant les autres). Poirot a l'air satisfait, mais de mon côté je maintiens que je n'ai pas vu dans ce fil une démonstration de cette inégalité.

    De plus je t'ai demandé précisément de justifier une ligne en particulier, si tu n'y arrives pas je ne vois pas comment tu peux demander si ta démonstration est juste. SI ta démonstration est juste tu dois savoir justifier chaque ligne.
  • Chalk
    Chalk
    Maintenant comment on démontre cette inégalité ? En utilisant simplement son cours sur les bornes supérieures : c'est le plus petit des majorants, donc c'est un majorant, plus petit que tout autre majorant.

    En particulier, si pour tout $x,y$ on a $|f(x,y)| \leq M$ alors $\Vert f\Vert_\infty \leq M$ (plus petit majorant), ainsi que pour tout $x$, $|g(x)| \leq \Vert g\Vert_\infty$ par exemple, de même pour $h$ (on utilise juste que c'est un majorant).

    Et c'est plié proprement en deux petites lignes, sans avoir besoin d'agiter les bras pour faire semblant. Pour l'autre inégalité, le critère séquentiel des bornes sup me paraît encore plus simple à utiliser que ce qu'a fait Poirot (mais c'est peut-être un biais personnel, j'aime beaucoup les critères séquentiels).
  • Poirot
    Poirot
    Je n'avais pas lu le détail mais juste la fin, donc non je ne suis pas satisfait.
  • srih
    srih
    merci de vos réponses
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

3 Invités