Distributions tempérées

Merci pour ces indication.
Pour la réponse: On dit d'une distribution qu'elle est tempérée si et seulement si
$$
\exists p \in \N, \exists C, \forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): |<T,\varphi>| \leq C N_{p}(\varphi),
$$
où $N_p(\varphi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^{\alpha} \varphi(x)||_{L^{\infty}}$.

$f =e^{x^2}$ est continue (elle est même de classe $C^{\infty}(\R)$) elle est donc $L^1_{loc}(\R)$ et elle définie une distribution:
$$
<e^{x^2}, \varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{x^2} \varphi(x) dx.
$$
Si on prend $\varphi(x)= e^{-x^2}$, on remarque que $\lim_{|x| \to +\infty} \varphi(x)$ ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour dire que $\varphi \in S(\R)$. On remarque que
$$
<e^{x^2}, e^{-x^2}>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} dx = + \infty,
$$
ce qui montre que $e^{x^2}$ n'est pas une distribution tempérée sur $\R$.
Si vous êtes d'accord avec cette solution, j'ai une question: le crochet $<e^{x^2}, e^{-x^2}>_{D',S}$ est bien un crochet $<.,.>_{D',S}$?

Oui une fonction à décroissance rapide veut dire que sa limite à l'infini vaut 0.
La définition d'une fonction $S$ dit ceci: $\psi \in C^\infty$ et pour tout polynôme $P$ et tou multi indice $\alpha$, il existe une constante $C$ telle que $||P. D^\alpha \psi||_{L^\infty} \leq C$ donc $|D^\alpha \psi(x)| \leq \dfrac{C}{P(x)} \to 0$ quand $x \to +\infty$.
Ou bien la condition $\lim_{|x| \to +\infty} \psi(x) dx$ est une condition suffisante et non nécessaire pour dire que $\psi \in S$?

Ah c'est mon erreur! Oui c'est vrai. Alors la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction $\psi$ soit dans $S(\R^n)$ et que $\lim_{|x| \to +\infty} |D^{\alpha} \psi(x)|=0$ pour tout $\alpha \in \N^n$.
Dans mon exemple, $\psi(x) = e^{-x^2} \in S(\R)$ si et seulement si $\lim_{|x| \to +\infty} e^{-x^2}=0$ et $\lim_{|x| \to +\infty} |\psi'(x)|= \lim_{|x| \to +\infty} |-2x e^{x^2}|=0$ et en général, pour tout $\alpha \in \N$ on a $\lim_{|x| \to +\infty} |\psi^{(\alpha)}(x)|= \lim_{|x| \to +\infty} |P(x) e^{-x^2}|=0$ car l'exponentielle est plus rapide que n'importe quel polynôme. On conclut que $\psi(x)= e^{-x^2} \in S(\R)$. Vous êtes d'accord avec mon raisonnement?