Complémentaire du cercle de $\mathbb C^2$

Le cercle de $\mathbb{C}^2$ est connexe par arcs. Si on effectue le changement de variables $u=x+iy$ et $v=x-iy$, on voit que le cercle complexe est l'ensemble $H=\{(u,v)\in\mathbb{C}^2 \mid uv=1\}=\{(u,u^{-1}) \mid u\in\mathbb{C}^\times\}$. Comme $\mathbb{C}^\times$ est conenxe par arcs...

Si $f(x,y)$ est un polynôme alors l'ensemble $\{(x,y) : f(x,y) \neq 0\}$ est connexe par arcs. Il suffit de penser en terme de droite : une droite complexe moins un nombre fini de points est toujours connexe.

Ce n'est pas l'ensemble des zéros mais le complémentaire que regarde gebrane. Je finis mon argument : soit $a,b$ deux points dans le complémentaire. Alors, la droite $L$ qui relie $a,b$ intersecte $Z(f(x,y))$ en un nombre fini de points, et il existe un chemin qui relie $a,b$ dans le complémentaire.

Pour moi, Lupulus prouve qu'il existe toujours un chemin « rectiligne » entre deux points de \(f^{-1}(\C^*)\).

@gb : qu'appelles-tu "chemin rectiligne" ?

On peut étendre l'argument de Lupulus au cas d'une réunion dénombrable de courbes algébriques dans $\mathbb C^2$. Le complémentaire de cette réunion est connexe par arcs.

GaBuZoMeu a écrit:

qu'appelles-tu "chemin rectiligne" ?

Un chemin dont l'image est contenue dans une droite (complexe dans la situation envisagée…).

Oups, je n'ai pas remercié pour les réponses ...

Autre chose, je me souvenais qu'il y avait la réponse (peut-être pas sous la forme élémentaire souhaitée) à la question de Lupulus chez Shafarevich (et aussi à la question plus générale de connexité d'une variété irréductible). Je l'ai retrouvée.

On peut supposer $f$ unitaire en $y$ de degré $n$, quitte à faire un changement linéaire de variables. La projection $\pi : X\to \mathbb C$ sur la première coordonnée est un revêtement à $n$ feuillets non ramifié sur l'ouvert $U$ complémentaire d'un ensemble fini de points de ramification dans $\mathbb C$. Soit $M$ une composante connexe de $\pi^{-1}(U)$. $\pi|_M$ est un revêtement non ramifié à $r$ feuillets de $U$. Pour $x\in U$, soient $g_1(x),\ldots,g_r(x)$ les polynômes symétriques élémentaires des $y_1,\ldots y_r$ tels que les $(x,y_i)$ sont les $r$ éléments de $M$ qui se projettent sur $x$. Les $g_j$ sont des fonctions holomorphes sur $U$ qui se prolongent holomorphiquement à $\mathbb C$ parce que $f$ est unitaire en $y$ et donc les $y_i$ et par conséquent les $g_j$ sont localement bornées au voisinage des points de ramification. Les fonctions entières $g_j$ ont une croissance polynomiale, ce sont donc des polynômes. Alors $y^r+\sum_{j=1}^r (-1)^jg_j(x)u^{r-j}\in \mathbb C[x,y]$ est un facteur de $f$, donc forcément égal à $f$ puisque celui-ci est irréductible. On en déduit que $r=n$, et donc $X$ est connexe.

La démonstration que j'ai esquissée est tout de même nettement moins sophistiquée que celle du 3.3.1 (et pas 3.1.1) de ton lien.
Pour ton exemple, c'est assez trivial car la projection de $\{(x,y)\in \mathbb C^2\mid xy=1\}$ sur l'axe des $x$ est un isomorphisme avec $\mathbb C^*$.