Justification passage
Bonjour,
Soit $E \subset \mathbb{R}^n$ et $a \in int(conv(E))$ (conv est l'enveloppe convexe et int est l'intérieur topologique).
Quelqu'un peut-il m'aider à justifier pourquoi il existe un ensemble fini $A \subset E$ tel que : $a \in int(conv(A))$.
J'ai pensé à utiliser Krein-Millman en dimension finie ... je n'y arrive pas. Je ne sais pas si c'est la bonne piste.
Merci d'avance.
Soit $E \subset \mathbb{R}^n$ et $a \in int(conv(E))$ (conv est l'enveloppe convexe et int est l'intérieur topologique).
Quelqu'un peut-il m'aider à justifier pourquoi il existe un ensemble fini $A \subset E$ tel que : $a \in int(conv(A))$.
J'ai pensé à utiliser Krein-Millman en dimension finie ... je n'y arrive pas. Je ne sais pas si c'est la bonne piste.
Merci d'avance.
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Réponses
Dans \(\R^n\), il est loisible de travailler avec la norme d'indice infinie.
Il existe une boule ouverte, de centre \(a\), de rayon \(r\) non nul, contenue dans \(conv(E)\).
Il suffit de prendre pour \(A\) les points extrémaux de la boule fermée de centre \(a\) et de rayon \(r\).
Par contre, comment justifier que $A \subset E$?
Chacun des points extrémaux \(s\) de la boule fermée de centre \(a\) et de rayon \(r/2\) appartient à l'intérieur de \(conv(E)\), donc à \(conv(E)\) : \(s\) est barycentre d'un sous ensemble fini \(E_s\) de points de \(E\).
En prenant pour \(A\) la réunion des \(E_s\), on obtient ce que l'on veut.
Remarquons aussi que le nombre de points extrémaux de la boule unité (norme infinie) est $2^n$. Visuellement, c'est évident.