Convergence série

Leo10Messi · April 2018

Bonsoir
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît à comprendre pourquoi à partir d'un certain rang, e^(sqrt(n)) =< 1/n^2?
J'ai compris qu'il faut utiliser le théorème des croissances comparées pour trouver la limite, mais je bloque au niveau de l'encadrement de la fonction exponentielle.
Ensuite, j'ai une deuxième question, je n'arrive pas à comprendre le passage de la première à la seconde ligne.
Un+1/Un=1/(n+1)* exp(ln(1+1/n) ln(n(n+1))?S'agit-il d'une série télescopique? Quelle règle (exp/ln) devrais-je utiliser pour arriver à ce résultat?
Voir pièce jointe

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement

gb · April 2018

On revient à la définition de la limite ; \(\lim_{n\to+\infty} n^2e^{-\sqrt n} = 0\), c'est :
\[\forall\epsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall n\in\N\qquad n\geqslant N\implies\lvert n^2e^{-\sqrt n}\rvert\leqslant\epsilon\]
Pour \(\epsilon=1\), cela prouve \(e^{-\sqrt n}\leqslant1/n^2\) à partir du rang \(N\).

Leo10Messi · April 2018

Un grand merci pour votre retour gb.
Auriez-vous un indice pour la seconde question s'il vous plaît?

gb · April 2018

Retour sur la première série.
L'étude des variations de \(x\mapsto x^2e^{-\sqrt x}\) sur \([0,+\infty[\) établit l'existence d'un maximum obtenu en \(x=16\), ce qui permet d'avoir la majoration globale :
\[\forall n\in\N^*\qquad e^{-\sqrt n} \leqslant\frac{256e^{-4}}{n^2}.\]

Pour la seconde série.
Tout simplement : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Avec \(a=\ln(n+1)\) et \(b=\ln(n)\), on obtient :
\begin{align}a-b&=\ln\left(\frac{n+1}n\right)=\ln\left(1+\frac1n\right)&a+b&=\ln\bigl(n(n+1)\bigr).\end{align}

Leo10Messi · April 2018

Merci beaucoup pour tous ces détails.
Concernant la valeur de x=16, devrais-je factoriser le polynôme de second degré et faire un tableau de variation pour trouver ce maximum?