Valeurs d'adhérence d'une suite dans (R,|.|)
Bonsoir
La question est de trouver les valeurs d'adhérence de la suite $w_n=\sin(n\frac \pi 4)\sin(n\frac \pi 2)$.
J'ai remplacé à chaque fois $n$ par $0,1,2,3,\ldots$ et j'ai trouvé 3 valeurs qui reviennent à chaque fois $-\frac{\sqrt{2}}{2},\ 0,\ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Comment s'assurer que se sont les seules valeurs d'adhérence de la suite ?
Et comment regrouper dans des sous-suites : j'ai pu dire que $w_{2k}=0$ et que $w_{8k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ainsi que $w_{8k+3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Mais je n'arrive pas à retrouver $w_7, w_{15},w_{23},\ldots$ ainsi que $w_{5}, w_{13}, w_{21}$
Merci.
La question est de trouver les valeurs d'adhérence de la suite $w_n=\sin(n\frac \pi 4)\sin(n\frac \pi 2)$.
J'ai remplacé à chaque fois $n$ par $0,1,2,3,\ldots$ et j'ai trouvé 3 valeurs qui reviennent à chaque fois $-\frac{\sqrt{2}}{2},\ 0,\ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Comment s'assurer que se sont les seules valeurs d'adhérence de la suite ?
Et comment regrouper dans des sous-suites : j'ai pu dire que $w_{2k}=0$ et que $w_{8k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ainsi que $w_{8k+3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Mais je n'arrive pas à retrouver $w_7, w_{15},w_{23},\ldots$ ainsi que $w_{5}, w_{13}, w_{21}$
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Réponses
L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite \((u_n)_{n\in\N}\) est :
\[\bigcap_{p\in\N}\overline{\lbrace u_n\mathbin{;}n\geqslant p\rbrace}.\]
Dans le cas de ta suite, il suffit de remarquer que, pour tout entier naturel \(p\):
\[\lbrace u_n\mathbin{;}n\geqslant p\rbrace=\lbrace0,\sqrt2/2,-\sqrt2/2\rbrace\]
pour conclure.
Si \(n\) est impair, il est de l'une des formes
— \(8k\pm1\) et \(w_n=\sqrt2/2\) ;
— \(8k\pm3\) et \(w_n=-\sqrt2/2\).
Merci pour votre aide